第一章 1 第2课时勾股定理的证明与简单应用-2023-2024学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第2课时 勾股定理的证明与简单应用 ▶ “答案与解析”见P2 1. 下列不能验证勾股定理的图形是 ( ) A. B. C. D. 2. 如图所示为一扇高为2m、宽为1.5m的长方 形门框,小强要通过门框将一些薄木板搬进 屋内,在不破坏门框,也不锯短木板的情况 下,能通过门框的木板最大的宽度为 ( ) (第2题) A. 1.5m B. 2m C. 2.5m D. 3m 3. 如图,某自动感应门的正上方A 处装着一个 感应器,离地面的高度AB 为2.5m.一名学 生站在C 处时,感应门自动打开了,此时这 名学生离感应门的距离BC 为1.2m,头顶与 感应器的距离AD 为1.5m,则这名学生的 身高CD 为 m. (第3题) 4. 如图所示为由4个全等的直角三角形通过适 当拼接后形成的图形,这些直角三角形的两 直角边分别为a,b,斜边为c.试利用这个图 形验证勾股定理. (第4题) 5. ★如图,我国古代的“赵爽弦图”是由 四个全等的直角三角形和一个小正 方形密铺构成的大正方形.若小正 方形的面积是1,大正方形的面积是13,则直 角三角形较短的直角边a∶较长的直角边b 的值是 ( ) A. 3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 6 (第5题) (第6题) 6. 勾股定理的证明有一种简单易懂的方法叫做 “常春证法”,将Rt△ABC 和Rt△DEF 按如 图所示的方式摆放,△ABC≌△DEF,点F 落在AC 上,点C 与点E 重合,斜边AB 与斜 边CD 交于点M,连接AD,BD.若AC=9, BC =5,则 四 边 形 ACBD 的 面 积 为 . 7. 如图,在离水面高度为8m的岸上,有人用绳 子拉船靠岸,开始时绳子BC 的长为17m,拉 动一段时间后船到达点D 的位置,此时绳 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 第一章　勾股定理 {#{QQABBQYAggCAAAIAAQhCQwXgCkOQkAACAAoGQBAEMAAAgRNABAA=}#} 子CD 的长为10m.这艘船向岸边移动了多 少米? (第7题) 8. 如图所示为一个桥洞的横断面,它是由一个 半圆和一个长方形构成的,桥下地面是双向 行车道(正中间是一条0.4m宽的隔离带). 一辆宽1.8m、高3.5m的货车能否通过此 桥洞? 请说明理由. (第8题) 答案讲解 9. 勾股定理神秘而美妙,它的验证方 法多种多样,其巧妙各有不同,其中 的“面积法”给了小聪灵感,他惊喜 地发现,当两个全等的直角三角形按如图① ②所示的方式摆放时,都可以用“面积法”来 验证,下面是小聪利用图①验证勾股定理的 过程: 将两个全等的直角三角形按如图①所示的方 式摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a2+ b2=c2. 连接DB,DC,过点D 作边BC 上的高DF, 则易得DF=EC=b-a.因为S四边形ADCB= S△ACD+S△ABC= 1 2b 2+12ab ,且S四边形ADCB= S△ADB+S△DCB= 1 2c 2+12a (b-a),所以 1 2b 2+12ab= 1 2c 2+12a (b-a).所以a2+ b2=c2. 请参照上述验证过程,利用图②完成下面的 验证. 将两个全等的直角三角形按如图②所示的方 式摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a2+ b2=c2. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 数学(北师版)八年级上 {#{QQABBQYAggCAAAIAAQhCQwXgCkOQkAACAAoGQBAEMAAAgRNABAA=}#} (2) 因为AB=AC,AD⊥BC, 所以∠ADB=∠ADC=90°,BD= CD. 在Rt△ABD 中,AB2=AD2+BD2①. 在Rt△APD 中,AP2=