第三章 一元函数的导数及其应用(选择性必修第二册)-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（浙江专用）

培优课(二)　隐零点与极值点偏移问题 [选题明细表] 知识点、方法 题号 隐零点问题 1,2,5 极值点偏移问题 3,4,6 1.设函数f(x)=ex-ax-2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)·f′(x)+x+1>0,求k的最 大值. 解:(1)f(x)的定义域为R,f′(x)=ex-a. 当a≤0时,f′(x)>0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. 当a>0时,令f′(x)<0,得x<ln a, 令f′(x)>0,得x>ln a, 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,ln a),单调递增区间为(ln a,+∞). (2)由题设可得(x-k)(ex-1)+x+1>0, 即k<x+(x>0)恒成立, 令g(x)=+x(x>0),得g′(x)=+1=(x>0). 由(1)的结论可知,函数h(x)=ex-x-2(x>0)是增函数. 又因为h(1)<0,h(2)>0, 所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点). 当x∈(0,α)时,g′(x)<0; 当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0, 所以g(x)min=g(α)=+α. 又h(α)=eα-α-2=0, 所以eα=α+2且α∈(1,2), 则g(x)min=g(α)=1+α∈(2,3), 所以k的最大值为2. 2.已知函数f(x)=ex. (1)若f(x)≥ax+1,求实数a的取值范围; (2)若g(x)=x+ln x,求证:g(x)-xex+1≤0. (1)解:f(x)≥ax+1,化为ex-ax-1≥0, 令u(x)=ex-ax-1, 则u′(x)=ex-a, 当a≤0时,u′(x)=ex-a>0,函数u(x)在R上单调递增, 而u(0)=1-1=0,因此x<0时,u(x)<0,不符合题意,舍去. 当a>0时,令u′(x)=ex-a=0,解得x=ln a, x∈(-∞,ln a)时,u′(x)<0,此时,函数u(x)单调递减,x∈(ln a,+∞)时,u′(x)>0,此时,函数u(x)单调递增, 所以x=ln a时,函数u(x)取得极小值即最小值, 所以u(ln a)=a-aln a-1≥0, 令v(a)=a-aln a-1, 则v′(a)=1-ln a-1=-ln a, 可得v(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, a=1时,v(a)取得极大值v(1)=1-0-1=0, 可得a=1时满足题意. 所以实数a的取值范围为{1}. (2)证明:令h(x)=g(x)-xex+1=x+ln x-xex+1,x∈(0,+∞), h′(x)=1+-(x+1)ex=(x+1)(-ex), 令y=-ex,则函数y在x∈(0,+∞)上单调递减, 又y(1)=1-e<0,y()=2->0, 所以存在唯一零点x0∈(,1) ⊆(0,+∞), 使得=,即x0=-ln x0. x0是h(x)的极大值即最大值, h(x0)=x0-x0-1+1=0, 所以h(x)≤h(x0)=0, 因此g(x)-xex+1≤0. 3.已知函数f(x)=xln x+x2-存在两个极值点x1,x2(x1<x2). (1)求实数a的取值范围; (2)判断f()的符号,并说明理由. 解:(1)因为f(x)=xln x+x2-(x>0)有两个极值点, 所以f′(x)=1+ln x+ax,x>0有两个变号的零点, 所以1+ln x+ax=0,-a=, 令h(x)=(x>0),h′(x)=, 当x∈(0,1)时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 所以h(x)max=h(1)=1. 画出函数图象如图所示, y=-a与h(x)有两个交点, 所以0<-a<1. 当0<-a<1时, 当0<x<x1或x>x2时, -a>,f′(x)<0; 当x1<x<x2时,-a<,f′(x)>0, 所以f(x)在区间(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在区间(x1,x2)上单调 递增, 所以f(x)的极小值点为x1,极大值点为x2. 所以a的取值范围为(-1,0). (2)f()符号为正. 理由如下: 由(1)可知,0<x1<1<x2. 又因为 所以ln x2-ln x1=-a(x2-x1), 所以=<. 现证明上式: 上式可变形为ln>,0<x1<x2, 令t=,则只需证ln t>(t>1), 设(t)=ln t-(t>1), ′(t)=>0, 所以(t)在(1,+∞)上单调递增, 从而(t)>(1)=0,即ln t>(t>1), 所以-<. 又因为0<-a<1,所以->1, 综上可得x1<1<-<<x2. f(x)在区间(x1,x2)上单调递增