第八章 平面解析几何(选择性必修第一册)-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（浙江专用）

培优课(五)　直线与圆锥曲线的位置关系 [选题明细表] 知识点、方法 题号 位置关系、弦长 1,3 弦中点 2,4 综合应用 5,6 1.直线y=kx(k>0)与双曲线-=1没有交点,则k的取值范围为(　C　) A.[,+∞) B.(2,+∞) C.[,+∞) D.(0,) 解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x, 根据双曲线的性质可知直线y=kx(k>0)与双曲线-=1没有交点,满足k≥. 2.已知A,B为抛物线C:y2=x上的两点,且|AB|=2,则AB的中点横坐标的最小值为(　C　) A. B. C. D.1 解析:设直线AB的方程为x=ky+b(b≥0),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程组消去x,得y2-ky-b=0,则y1+y2=k,y1y2=-b, Δ=k2+4b>0. 因为|AB|==2, 所以(1+k2)(k2+4b)=4,得b=-. 因为x1+x2=k(y1+y2)+2b=k2+2b, 所以AB的中点的横坐标x0==+b=+=+-≥ 2-=, 当且仅当=, 即k=±1时,等号成立, 所以当k=±1时,x0取得最小值. 3.(2022·云南昆明模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且|AB|=,写出满足条件的一个点A或点B的坐标为　　　　.  解析:由题意,得抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0), 设直线AB的方程为x=my+1, A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去x,得y2-4my-4=0, 则y1+y2=4m,y1y2=-4, 故|AB|=·=, 解得m=±. 当m=时,y2-3y-4=0,解得y=-1或4, 故两交点坐标为(4,4),(,-1); 当m=-时,y2+3y-4=0,解得y=-4或1, 故两交点坐标为(4,-4),(,1). 答案:(4,4)(或(,-1)或(4,-4)或(,1)) 4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为　　　　　.  解析:法一　设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,所以 即 因为kAB=kMN,所以==-. 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程, 得相减得+=0, 由题意知x1+x2≠0,x1≠x2, 所以·=-, 即·(-)=-,整理得m2=2n2.① 又|MN|=2,所以由勾股定理, 得m2+n2=12,② 由①②并结合m>0,n>0, 得所以直线l的方程为+=1, 即x+y-2=0. 法二　设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n). 由题意知线段AB与线段MN有相同的中点, 设为Q,则Q(,), 则kAB==-,kOQ==. 由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-=-,即(-)·=-,以下同法一. 答案:x+y-2=0 5.设F1,F2分别是双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的直线l:x-my-t=0(m,t∈R)与Γ的右支交于M,N两点,Γ过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为. (1)求双曲线Γ的方程; (2)当|MF1|=|F2F1|时,求实数m的值; (3)设点M关于坐标原点O的对称点为P,当=时,求△PMN面积S的值. 解:(1)由Γ过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为, 得解得 则所求的双曲线Γ的方程为x2-=1. (2)由(1)得直线l:x-my-t=0过点F2(2,0),所以t=2. 由|MF1|=|F2F1|=4,得等腰三角形F1MF2底边MF2上的高的长度为=. 又F1到直线l:x-my-2=0的距离等于等腰三角形F1MF2底边上的高, 则=,即m2=,则m=±. (3)设M(x1,y1),N(x2,y2),由 消去x,得(3m2-1)y2+12my+9=0, 因为有两个交点,所以Δ>0,且m2≠, 则y1+y2=,y1y2=-. 又=,即y2=-2y1, 则-y1=,2=, 即2(-)2=,则m2=, 又M关于坐标原点O的对称点为P, 则S=2S△OMN=2|y1-y2|=2=2= =, 即所求的△PMN面积为. 6.已知点A(3,)在离心率为的双曲线C上,过点M(1,0)的直线l交曲线C于D,E两点(D,E均在第四象限),直线AD,AE分别交直线x=1于P,Q两点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若△APQ的面积为4,求直线l的方程. 解:(1)①若焦点在x轴上, 设双曲线C方程为