第三章 第6节 利用导数研究函数零点-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第6节　利用导数研究函数零点 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 判断、证明或讨论零点的个数 [例1] (2022·山东日照三模)已知函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x(a∈R). (1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间; [例1] (2022·山东日照三模)已知函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x(a∈R). (2)当a<e时,讨论f(x)的零点个数. 可得0<x<2时,h′(x)<0,h(x)单调递减; x>2时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(2)=2-ln 2>0, 即x>0时,h(x)>0恒成立, 故0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减; x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以g(x)min=g(1)=-e. 又由x→0时,g(x)→0, 当x→+∞时,g(x)→+∞, 函数g(x)的图象,如图所示, 结合图象可得, 当a<-e时,无零点;当a=-e或0≤a<e时,一个零点;当-e<a<0时,两个零点. 利用导数求函数的零点常用方法 (1)构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质,结合g(x)的图象,判断函数零点的个数. (2)利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数有多少个零点. (1)求b的值以及l的方程; (2)判断函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上零点的个数,并说明理由. 根据零点情况求参数范围 (1)当a=0时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围. 根据零点个数求参数的取值范围问题 (1)参数分离法.若能够分离参数,则分离参数后构造函数,通过研究函数的性质,画出函数的图象,利用数形结合思想求解. (2)极值(最值)转化法.若不能分离参数,应根据函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,利用函数的极值(最值)的符号以及函数的单调性,确定参数的取值范围. [针对训练] (2023·河南模拟)设函数f(x)=ax2-(a-2)x-ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; ③当a=-2时,f′(x)≤0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减. [针对训练] (2023·河南模拟)设函数f(x)=ax2-(a-2)x-ln x(a∈R). (2)若函数f(x)恰有两个零点,求a的取值范围. ③当a=-2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意. 与函数零点相关的综合问题 根据两函数图象有交点或其中一个函数图象上存在某种特征性质的点(如关于原点对称的点,关于坐标轴对称的点等)在另一个函数图象上时,常通过构造函数转化为函数零点的存在性问题. (1)求b; (2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1. [例1] (多选题)已知a>1,x1,x2,x3为函数f(x)=ax-x2的零点,x1<x2<x3,下列结论正确的是(　　) [例2] (多选题)已知函数f(x)=xln x+a(1-x)+x在区间(1,+∞)内没有零点,则实数a的取值可以为(　　) A.-1 B.2 C.3 D.4 [例4] (多选题)已知函数f(x)=ax-xa(a>1)的定义域为(0,+∞),且f(x)仅有一个零点,则(　　) A.e是f(x)的零点 B.f(x)在(1,e)上单调递增 C.x=1是f(x)的极大值点 D.f(e)是f(x)的最小值 对于A,f(x)=ex-xe,f(e)=0,故A正确. 对于B,f′(x)=ex-exe-1,f′(x)=ex-exe-1=0,即ex=exe-1,即x=1+(e-1)ln x, 所以x-1=(e-1)ln x,故x=1或x=e, 当x>e或0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当1<x<e时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故B错误. 对于C,x=1是f(x)的极大值点,故C正确. 对于D,当x→0时,f(x)→1,f(e)=0, 结合单调性可得f(e)是f(x)的最小值,故D正确.故选ACD. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 解:(1)当a=-1时,f(x)=(x-2)ex+x-ln x, 则f′(x)=(x-1)(ex+), 当x∈(0,+∞)时,ex+>0恒成立, 所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 即f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞). 解:(2)由题意,函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x=(x-2)ex-a(x-ln x),x>0, 设m(x)=x-ln x,x>0,则m′(x)=1-=, 当x∈(0,1)时,m′(x)<0,m(x)单调递减