第三章 第5节 利用导数证明不等式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第5节　利用导数证明不等式 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 构造函数证明不等式 [例1] 已知函数f(x)=ex+exln x(其中e是自然对数的底数). (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (1)解:因为函数f(x)=ex+exln x, 所以f′(x)=ex+e(1+ln x),f(1)=e, 所以f′(1)=2e, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e. [例1] 已知函数f(x)=ex+exln x(其中e是自然对数的底数). (2)求证:f(x)≥ex2. 证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以通过构造函数F(x)=f(x)-g(x).将问题转化为证明函数F(x)在x∈(a,b)上的最小值大于0,即证明了f(x)>g(x). (1)求函数g(x)的极值; (2)当x>0时,证明:f(x)≥g(x). 转化为两个函数的最值比较(凹凸翻转) [例2] (2022·河南郑州模拟)设函数f(x)=ln(a-x)-x+e. (1)求函数f(x)的单调区间; [例2] (2022·河南郑州模拟)设函数f(x)=ln(a-x)-x+e. 若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.此类问题经变形转化后,不等式左右两边的函数图象一般具有相反的凹凸性,利用f(x)min≥g(x)max解决. [针对训练] 已知函数f(x)=2xex+ax(a∈R),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x. (1)求实数a; (1)解:f′(x)=2(x+1)ex+a, 所以f′(0)=2×(0+1)e0+a=1, 解得a=-1. [针对训练] 已知函数f(x)=2xex+ax(a∈R),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x. (2)求证:f(x)>ln x+1. 适当放缩证明不等式 [例3] 已知函数f(x)=mex-x-ln m-1,其中m>0. (1)求f(x)的最小值; (1)解:f′(x)=mex-1, 在(-∞,-ln m)上,f′(x)<0,在(-ln m,+∞)上,f′(x)>0, 故f(x)的最小值为f(-ln m)=me-ln m-(-ln m)-ln m-1=0. [例3] 已知函数f(x)=mex-x-ln m-1,其中m>0. (2)证明:xeex-eln x-ln(x+1)>1. (2)证明:令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1, 当x=0时,g(x)取最小值,故g(x)≥g(0)=0,即对∀x∈R,ex≥x+1, 故xeex=ex+eln x≥x+eln x+1,故xeex-eln x-ln(x+1)≥x-ln(x+1)+1, 而对x>0,ex>x+1⇒x>ln(x+1), 所以x-ln(x+1)>0,x-ln(x+1)+1>1,故原式得证. 常见放缩类型 (1)切线放缩:导数法证明不等式中,最常见的是ex和ln x与其他代数式的结合问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,得到较为简单的不等式,然后再构造函数进行证明,常用的放缩公式是: ①ex≥x+1,当且仅当x=0时,取等号; ②ln x≤x-1,当且仅当x=1时,取等号. (2)当题目给出参数范围时,一般利用参数进行简单的放缩后,再构造函数证明不等式. [针对训练] 已知函数f(x)=ex-a+x-2(a∈R). (1)求证:f(x)仅有一个零点; 证明:(1)f′(x)=ex-a+1>0,所以f(x)在R上单调递增, 当x→-∞时,ex-a→0, 所以f(x)=ex-a+x-2→-∞, 当x=2时,f(2)=e2-a>0, 所以f(x)有且仅有一个零点. [针对训练] 已知函数f(x)=ex-a+x-2(a∈R). [例1] 已知函数f(x)=ex+a+bsin x-1的图象在原点处的切线方程为y=3x. (1)求函数y=f(x)的解析式; [例1] 已知函数f(x)=ex+a+bsin x-1的图象在原点处的切线方程为y=3x. (2)当x≥0时,求证:f(x)≥3x. (2)证明:要证当x≥0时,f(x)≥3x, 即证当x≥0时,ex+2sin x-3x-1≥0, 令g(x)=ex+2sin x-3x-1,则g′(x)=ex+2cos x-3, 令h(x)=ex+2cos x-3,则h′(x)=ex-2sin x, 令m(x)=x-sin x(x≥0),则m′(x)=1-cos x≥0, 即m(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故m(x)≥m(0)=0, 即当x≥0时,x≥sin x, 故h′(x)=ex-2sin x≥ex-2x; 下