第三章 第4节 利用导数研究恒(能)成立问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第4节　利用导数研究恒(能)成立问题 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 分离参数法解决不等式恒(能)成立问题 [例1] 已知函数f(x)=ex+1-ax-a-1. (1)讨论f(x)的极值; 解:(1)因为f(x)=ex+1-ax-a-1,所以f′(x)=ex+1-a, 当a≤0时,f′(x)>0恒成立,则函数f(x)在R上单调递增,此时无极值, 当a>0时,由f′(x)≥0得x≥ln a-1, 由f′(x)<0得x<ln a-1, 所以函数f(x)在(-∞,ln a-1]上单调递减,在[ln a-1,+∞)上单调递增, 所以当x=ln a-1时,函数f(x)有极小值f(ln a-1)=a-a(ln a-1)-a-1=a-aln a-1. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值, 当a>0时,函数f(x)在x=ln a-1处取得极小值f(ln a-1)=a-aln a-1,无极大值. [例1] 已知函数f(x)=ex+1-ax-a-1. (2)设a=1,若关于x的不等式f(x-1)≥bx3-x2在区间(0,+∞)内恒成立,求实数b的取值范围. 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max; a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min; a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min; a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 最值转化法求不等式恒(能)成立问题 [例2] 已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,a∈R. (1)求函数y=g(x)的单调区间; [例2] 已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,a∈R. (2)若不等式f(x)≥g(x)+1在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题,一般需讨论参数范围,借助函数单调性求解. [针对训练] (2023·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性﹔ [针对训练] (2023·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R). (2)若存在x∈(1,+∞),f(x)>-a,求a的取值范围. 双变量的恒(能)成立问题 (1)讨论函数f(x)的单调性; ②当a<0时,由f′(x)>0得x>-6a,即f(x)的单调递增区间是(-6a,+∞); 由f′(x)<0得0<x<-6a,即单调递减区间是(0,-6a). “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件,进行等价变换,常见的等价转换有: (1)存在x1∈A,任意x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max; (2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min; (3)任意x1∈A,x2∈B,使f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)max; (4)存在x1∈A,x2∈B,使f(x1)≤g(x2),则f(x)min≤g(x)max. (1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大值M; [例2] (2022·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=axex-(a+1)(2x-1). (1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; 解:(1)若a=1,则f(x)=xex-2(2x-1). 即f′(x)=xex+ex-4, 则f′(0)=-3,f(0)=2, 所以所求切线方程为3x+y-2=0. [例2] (2022·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=axex-(a+1)(2x-1). (2)当x>0时,函数f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 解:(2)当a=1时,f(x)=ex+1-x-2,则f(x-1)=ex-x-1, 因为f(x-1)≥bx3-x2,即ex-x-1≥bx3-x2, 因为x>0,所以b≤,令g(x)=,则g′(x)=, 令h(x)=ex-x-1,则h′(x)=ex-1>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)>h(0)=0, 由g′(x)≥0得x≥3,由g′(x)<0得x<3, 所以函数g(x)在(0,3]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,当x=3时,函数g(x)有最小值g(x)min=g(3)=,所以b≤,所以实数b的取值范围是(-∞,]. [针对训练] 已知函数f(x)=ex-f(0)x,若存在实数x0使不等式2a-1-≥f(x0)成立,则a的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,2]