第六章 第4节 余弦定理和正弦定理-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第4节　余弦定理和正弦定理 [课程标准要求] 1.借助向量的运算,通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 2.能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 2Rsin B 2Rsin C 2.三角形常用面积公式 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C; (2)cos(A+B)=-cos C; 2.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A> sin B⇔cos A<cos B. D D 3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(　 　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 C 4.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=　　　　,△ABC的面积=　　　　.  5.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为　　　 　　. 答案:等腰三角形或直角三角形 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1] (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2= ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (1)证明:因为BDsin∠ABC=asin C, 所以在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac, 又b2=ac,所以BD·b=b2, 又b>0,所以BD=b. [例1] (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C. (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程(组),通过解方程(组)求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系. [针对训练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+asin A= bsin B+csin C. (1)求A的值; [针对训练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+asin A= bsin B+csin C. 三角形形状判断 判断三角形形状的两种途径 和三角形面积有关的问题 (1)求sin A的值; (2)若b=11,求△ABC的面积. 与三角形面积有关问题的解题策略:(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积.(2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. (1)求cos B的值; (2)若S=24,求a的值. 答案:75° 点击进入 课时作业 谢谢观赏 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)===2R (2)a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 变形 (3)a=2Rsin A, b= , c= ; (4)sin A=, sin B=, sin C=; (5)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (6)asin B=bsin A,bsin C=csin B, asin C=csin A (7)cos A=; cos B=; cos C= (1)S=a·ha(ha表示边 a上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径). (3)sin=cos; (4)cos=sin. 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　 　) A.30° B.45° C.135° D.45°或135° 解析:根据正弦定理=,得sin B===,由于b=>1=a,所以B=45°或135°. 解析:法一　由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,得BC2+2BC-15=0, 解得BC=3或BC=-5(舍去). 法二　由正弦定理=,得sin C=,