第八章 培优课(四) 隐圆问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

培优课(四)　隐圆问题 隐圆问题是指在已知条件中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而利用圆的知识来求解.求解此类问题,主要是培养“数学建模”的核心素养. 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 利用圆的定义或圆的几何性质确定圆 在平面内到定点的距离等于常数,则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两个关键词:定点,定长.然后再化归为圆中的有关问题去解即可. [拓展演练] 设A是圆(x+1)2+y2=9上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=4,则点P到点Q(5,8)距离的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.15 阿波罗尼斯圆 注意:使用阿波罗尼斯圆解题时,若已知条件中没有坐标系,则需要建立坐标系后求解. 利用A,B为定点,|PA|2+|PB|2为定值确定圆 [典例3] 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10,则实数a的取值范围是　　　　.  答案:[0,3] (1)动点到两个定点的距离的平方和是定值,则这个点的轨迹也是一个圆,当然这个定值会有一定的范围,否则轨迹不存在,如果在某一距离前加其他系数也可以. [拓展演练] 正方形ABCD与点P在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD|的取值范围为　　　　.  由圆周角的性质确定圆 [典例5] (1)(2022·山东聊城二模)已知点P在圆O:x2+y2=4上,点A(-3,0), B(0,4),满足AP⊥BP的点P的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 平面上动点P对两定点A,B的张角α为定值,动点的轨迹常转化为圆的问题求解.特别地,若α是直角,则直接利用圆周角的定义确定圆的方程.若α不是直角,则动点的轨迹是两段圆弧. [拓展演练] (1)已知圆C:(x-4)2+(y+3)2=1和两点A(-a,0),B(a,0)(a>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则a的最小值为(　　) A.1 B.6 C.3 D.4 解析:(1)由∠APB=90°得点P在圆x2+y2=a2上,又点P在圆C上,所以两圆有交点,因为圆x2+y2=a2的圆心为原点O,半径为a,圆C的圆心为(4,-3),半径为1,所以|a-1|≤|OC|≤a+1,即|a-1|≤5≤a+1⇒4≤a≤6,所以a的最小值为4.故选D. [例4] 在平面直角坐标系xOy中,已知B,C为圆x2+y2=4上两点,点A(1,1),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围是　　　　.  答案:9 点击进入 课时作业 谢谢观赏 [典例1] (2022·河南许昌三模)已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上两点,且|MN|=4,点 P在直线l:x-y+3=0上,则|+|的最小值为(　　) A.2-2 B.2 C.2+2 D.2- 解析:设线段MN的中点为D,圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),半径为 .C到直线MN的距离为=1,所以|CD|=1,故点D的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,设点D的轨迹为圆C′,圆C′上的点到直线l的最短距离为t=-1=-1,所以|+|=|2|=2||≥2t=2-2.故选A. 解析:由圆(x+1)2+y2=9,可知圆心C(-1,0),半径为3,又|PA|=4, 所以|PC|2=|PA|2+32=25,即点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=25. 故点P到点Q(5,8)距离的最小值为-5=5.故选B. 解析:因为圆C的圆心在直线y=2x-4上, 所以圆C的方程设为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1. 设M(x,y),由|MA|=2|MO|, 可得=2, [典例2] 已知圆心C在直线y=2x-4上的圆的半径为1,点A(0,3),若圆C上存在点M,使得|MA|=2|MO|(O为坐标原点),则圆心C的横坐标 a的最大值是(　　) A. B. C. D. 化简可得x2+(y+1)2=4,点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 由题意点M(x,y)在圆C上, 则圆C和圆D有公共点,即|2-1|≤|CD|≤2+1, 所以1≤≤3, 即5a2-12a+8≥0,且5a2-12a≤0, 由5a2-12a+8≥0,可得a∈R,由5a2-12a≤0, 可得0≤a≤,圆心C的横坐标a的取值范围为[0,].故选C. (1)在平面上给定两点A,B,设点P在同一平面上且满足=λ,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆.当λ=1时,点P的轨迹是线段AB的中垂线. (2)如图,A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为λ(λ≠1)的内外分点,则以PQ为直径的圆O上