第八章 第9节 直线与圆锥曲线中的最值与范围问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第9节　直线与圆锥曲线中的最值与范围 问题 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 最值问题 基本不等式法求最值 利用基本不等式法求解直线与圆锥曲线的交点有关的最值问题时,主要是把待求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值. 构造目标函数求最值 [例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M: x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p; [例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M: x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. 动直线与圆锥曲线相交形成的与交点有关的最值问题,若最值的关系式可以转化为某一变量的函数关系式,可以用函数最值的有关知识(二次函数的配方法,以及利用导数研究函数的单调性法等)求最值,在求最值时,要注意变量的取值范围对最值的影响. [针对训练] 1.如图,已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E上的点到准线的最小距离为1. (1)求抛物线E的方程; 1.如图,已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E上的点到准线的最小距离为1. (2)过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线E交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值. 范围问题 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值 范围. (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. [例2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB的中点,且|AF|+|BF|=1+2x0. (1)求抛物线C的方程; 解:(1)根据抛物线的定义知, |AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0, 因为|AF|+|BF|=1+2x0, 所以p=1, 所以y2=2x. [例2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB的中点,且|AF|+|BF|=1+2x0. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 解:(1)设M的坐标为(x,y), 依题意得·=-, 化简得+y2=1(x≠0). [例1] 已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-. (1)求动点M的轨迹E的方程; 解:(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0, 所以x1+x2=-,x1x2=,且Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0, 即-<m<,且m≠-1,0,1. 设A,B中点为C,点C横坐标为xC==-,yC=xC+m=, [例1] 已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-. (2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值. 所以线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x+),所以点P的坐标为(-,0), 所以点P到AB的距离d=. 由弦长公式得|AB|=·=·, 所以S△PAB=×××=≤·=. 当且仅当m2=,即m=±时,等号成立, 经检验m=±符合题意. 所以△PAB面积的最大值为. 解:(1)由题意知M(0,-4),F(0,),圆M的半径r=1,所以|MF|-r=4, 即+4-1=4,解得p=2. 解:(2)由(1)知,抛物线方程为x2=4y, 由题意可知直线AB的斜率存在,设A(x1,),B(x2,),直线AB的方程为y=kx+b, 联立得消去y,得x2-4kx-4b=0, 则Δ=16k2+16b>0,(※) x1+x2=4k,x1x2=-4b, 所以|AB|=|x1-x2|=·=4·. 因为x2=4y,即y=,所以y′=, 则抛物线在点A处的切线斜率为, 在点A处的切线方程为y-=(x-x1),即y=x-. 同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x-, 联立得则 即P(2k,-b).因为点P在圆M上, 所以4k2+(4-b)2=