第八章 第8节 直线与圆锥曲线中的定点与定值问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第8节　直线与圆锥曲线中的定点与定值 问题 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 定点问题 (1)参数法解决定点问题的思路:①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹,主要方法有:(1)设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;(2)待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;(3)验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证. 定值问题 (2)证明:①当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=±2,此时点M,N的横坐标之积为4; 圆锥曲线中定值问题的两种求解方法 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. [针对训练] 已知点O为坐标原点,过点C(4,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB. (1)求抛物线的方程; [针对训练] 已知点O为坐标原点,过点C(4,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 解:由已知得M(1,0),设直线MP与MQ的斜率分别为k1,k2. ①当直线PQ垂直于x轴时, 设P(t,h),因为P是双曲线C上的点,所以h2=2t2-2, 则k1k2====-, 解得t=-2,即若存在定点,定点在直线x=-2上. [例1] 若P,Q是双曲线C:x2-=1上的两点,M是C的右顶点,且直线MP与MQ的斜率之积为-,证明直线PQ恒过定点,并求出该定点的坐标. ②当直线PQ不垂直于x轴时,设直线PQ的斜率为k,PQ的方程为y=kx+m,且P(x1,y1),Q(x2,y2), 由消去y,得(k2-2)x2+2kmx+m2+2=0. 当时,x1+x2=,x1x2=, 则k1k2=======-, 得m=2k,即若存在定点,则定点在直线y=k(x+2)上, 由得 综上,直线PQ恒过定点(-2,0). (1)解:因为椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A(0,-2), 所以可设椭圆E的方程为+=1, 又椭圆E过B(,-1),所以+=1,得a2=3, 所以E的方程为+=1. [针对训练] (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点. (1)求E的方程; (2)证明:当直线MN的斜率不存在时,lMN:x=1, 由得 y2=,所以y=±. 结合题意可知M(1,-),N(1,), [针对训练] (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点. (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足 =.证明:直线HN过定点. 所以过M且平行于x轴的直线的方程为y=-. 易知点T的横坐标xT∈[0,],直线AB的方程为y-(-2)=·(x-0), 即y=x-2,由得xT=3-,所以T(3-,-). 因为=,所以H(5-2,-),lHN:y-=(x-1),即y=x-2. 当直线MN的斜率存在时,如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+m(k+m=-2). 由得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ>0, 所以x1+x2=-,x1x2=. 过M且平行于x轴的直线的方程为y=y1, 与直线AB的方程联立,得 得xT=,所以T(,y1). 因为=,所以H(3y1+6-x1,y1), lHN:y-y2=(x-x2), 即y=x+y2-·x2. 令x=0,得y=y2-==. 因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=, y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=, x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=, 所以-(x1y2+x2y1)+3y1y2=+==, -(x1+x2)+6+3(y1+y2)=+6+==, 所以y==-2,所以直线HN过定点(0,-2).综上,直线HN过定点(0,-2). [例2]