第五章 第4节 数列求和-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第4节　数列求和 [课程标准要求] 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 数列求和的基本方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 ②等比数列的前n项和公式 Sn= . (2)几种数列求和的常用方法 ①分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或 或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减. ②裂项相消法:把数列的通项拆成两项之 ,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和. ③错位相减法:如果一个数列的各项是由一个 和一个 的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. ④倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 ,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. ⑤并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 等比 差 等差数列 等比数列 同一个常数 D B 3.求和:12-22+32-42+…+992-1002=　　　　.  答案:-5 050 4.求和:Tn=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1=　　　　.  答案:1+(n-1)·2n 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 分组求和法 [例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2-S2x+2<0的解集为(1,2). (1)求数列{an}的通项公式; [例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2-S2x+2<0的解集为(1,2). 分组求和法的常见类型 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前n项和. [针对训练] (2023·广西柳州模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)证明{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式; (1)证明:因为an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1), 又a1+1=2≠0, 所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1. [针对训练] (2023·广西柳州模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (2)求数列{an+n+1}的前n项和Sn. 裂项相消法 [例2] 已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; [例2] 已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项. 错位相减法 [例3] (2022·河北石家庄高三二模)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1, 2an+1=Sn+2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; [例3] (2022·河北石家庄高三二模)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1, 2an+1=Sn+2(n∈N*). (1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. [针对训练] 已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q>0,解得q=2.所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,① 由S11=11b4,可得a1+5d=16,② 联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以数列{an}的通项公式为an=3n-2, 数列{bn}的通项公式为bn=2n. [针对训练] 已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*). 倒序相加法 将一个数列倒过来排