第五章 第3节 等比数列-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（浙江专用）

第3节　等比数列 [课程标准要求] 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的 问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.等比数列的有关概念 同一个常数 2 公比 (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么 叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒ . 2.等比数列的有关公式 等比数列{an}的首项为a1,公比为q. (1)通项公式:an= . G G2=ab a1qn-1 (2)前n项和公式: 3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· (n,m∈N*). (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an= = . qn-m ap·aq (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k, an+3k,…为等比数列,公比为qk. (5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q≠-1). (1)任意两个实数不一定都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项. D AD A 3.在等比数列{an}中,若a3=1,a11=25,则a7等于(　 　) A.5 B.-5 C.±5 D.±25 A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 B 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 等比数列的基本量运算 1.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,a3=4且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值可能为(　 　) AC 2.等比数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则{an}的前12项和为(　 　) A.90 B.60 C.45 D.32 C 3.(多选题)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a2=6,a5=48,则下列结论正确的是(　 　) A.a3=9 B.an=3×2n-1 C.Sn=3n-1 D.Sn=3×(2n-1) BD 4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=1,S12=13,则a13+a14+a15+a16等于(　　) A.27 B.64 C.-64 D.27或-64 解析:设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1, 所以S4=a1+a2+a3+a4=1, S12=a1+a2+a3+a4+…+a12 =(a1+a2+a3+a4)+q4·(a1+a2+a3+a4)+q8·(a1+a2+a3+a4)=1+q4+q8=13, 解得q4=3或q4=-4(舍去), 则a13+a14+a15+a16=a1q12+a2·q12+a3·q12+a4·q12=(a1+a2+a3+a4)·q12=q12=27. A (1)等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程 (组)便可迎刃而解. 等比数列的证明与判断 [例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*). (1)求a1,a2,a3的值; 解:(1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3, 当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9, 当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9, 解得a3=21. [例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*). (2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由. 解:(2)假设{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)·(a3+λ), 即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3. 下面证明{an+3}为等比数列. 因为Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3n-3,所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3, 即an+1=2an+3,所以an+1+3=2(an+3), 又a1+3=6≠0,所以存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列,所以an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1). 等比数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1=qan(a1≠0,q≠0)⇔{an}是等比数列. (2)等比中项法:{an}各项均不为0,=anan+2⇔{an}是等比数列. (3)通项公式法:an=Aqn-1(Aq≠0)⇔{an}是等比数列. (4)前n项和公式法:Sn=Aqn-A(Aq≠0,q≠1)⇔{an}是等比数列. 注意:证明一个数列是等比数列,一般只能