第11讲 最短路径探究之将军饮马-【专题突破】2023-2024学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第11讲 最短路径探究之将军饮马 【知识点睛】 · 将军饮马模型总结： 类型 问题 作法 图形 原理 异侧型“两定一动”型 连接AB PA＋PB的最小值为AB，两点之间，线段最短 同侧型“两定一动”型 作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B，A`B与直线l的交点即为点P AP+BP=A`B，两点之间线段最短 角内部“一定两动”型 分别作点P关于两直线的对称点P`，P``，连接P`P``，与两直线交点即为点M、N PM+MN+PN=P`P``，两点之间，线段最短 角内部“两定两动”型 分别作点P、Q关于直线l1，l2的对称点P`，Q`，连接P`Q`，与直线的交点即为点M、N PQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，两点之间线段最短 同侧“两定两动”型 将点A向右平移a个单位到点A`，作A`关于直线l的对称点A``，连接A``B，A``B与直线l交点即为点N，将点N向左平移a分单位即为点M AM+MN+NB=a+A``B，两点之间，线段最短 · 其他“两动一定”型最值问题模型： 如图，点P、点Q分别为直线BC、直线AB上的两个动点，求AP＋PQ的最小值 作点A关于直线BC的对称点A`，过点A`作A`Q⊥AB与点Q，A`Q与直线BC交点即为点P AP+PQ=A`Q，点到直线的距离，垂线段最短 · “造桥选址”类将军饮马模型： 村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应该如何选择，才能使A与B之间的距离最短构造平行四边形AA`NM，则AM转化为A`N，之后再依据两点之间线段最短，连接A`B即为A、B之间陆地距离的最小值 A` · 特别地：“两动两定”型将军饮马，平行四边形的构造都是为了消除动点间的间距d，所以平行四边形的两邻边中，一边是间距d、另一边是定动线段AM或BN中的一条。 【类题训练】 1．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．3 B．2 C．10 D．2 3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是高AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，AB＝5，BD＝3，AD＝4，则BE+EF的最小值是（　　） A．3 B．5 C． D． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 6．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（　　） A．7 B．3.5 C．5 D．2.5 8．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A．3 B． C． D．6 9．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　） A．1400m B．（500+300）m C．1000m D．（300+100）m 10．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 11．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　） A． B． C．a+b D．a 12．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（　　） A．13 B．15 C．16 D