第6章 反比例函数（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第6章 反比例函数（知识归纳+题型突破） 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题. 一、反比例函数的概念 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点： 观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 （4）反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 题型一 反比例函数的定义及有关概念 【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练： 1．下列各点在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ． 5．如果是反比例函数，那么的值是 ． 题型二 反比例函数的图像与性质 【例2】关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数图像分别位于第一、三象限 B．函数图像经过点 C．函数图像过，则 D．函数图像关于原点成中心对称 巩固训练： 1．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（　　） A．  B．  C．  D．   2．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图像经过点 B．函数图像位于第一、三象限 C．函数值随着的增大而增大 D．当时， 4．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是 ． 5．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 6．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 7．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是(    )． A． B． C． D． 题型三 反比例函数有关的面积问题 【