第6章 反比例函数（压轴题专练）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第6章 反比例函数（压轴题专练） 题型01：反比例函数与一次函数交点问题 1．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，点是双曲线上的动点，横坐标为，作轴交直线于点，连接、．    (1)求a、b的值； (2)求的面积与的函数关系式，并求的最大值； (3)当四边形为平行四边形时，连接，并将直线向上平移个单位后与反比例函数的图象交于、两点，与直线交于点，设、、三点的横坐标分别为、、，是否存在正实数使得等式成立，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由． 3．图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究： 探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？ 探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？ 探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？ 请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．    4．如图，已知线段，，，现将线段沿y轴方向向下平移得到线段．直线过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线的一条分支上，    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)① 直接写出不等式的解集； ② 若点P是y轴上一点，且的面积为8.5，请直接写出点P的坐标； (3)若点，在双曲线上，试比较和的大小． 5．如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．    (1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______； (2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式； (3)当平行四边形的面积等于30时，求的值． 题型02：反比例函数与几何-存在性问题 6．如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．    (1)求的值，并直接写出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标； (3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与实践 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，把线段绕点B逆时针旋转得到，过点C作轴于点D，反比例函数的图象经过点C，与直线交于两点E和F．    (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，若点E的横坐标是1，点F的纵坐标是． ①直接写出线段和的数量关系和当时，x的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)当点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点A，D，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 9．如图，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．    (1)判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由； (2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形； (3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标． 题型03：反比例函数与几何-最值问题 10．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象交于点，其中，点A在x轴的正半轴上，点的坐标为，过点C作轴于点H．    (1)已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式； (2)若点P是线段上的一点，满足，连接，过点作轴于点，记的面积为，设 ①用t表示T（不需要写出t的取值范围）； ②当T取最小值时，求m的值． 11．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称