第十章 专题七 带电粒子在电场和磁场中运动的临界与极值问题-【导与练】2024高考物理一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

专题七　带电粒子在电场和磁场中运动的临界与极值问题 临界问题的关键是找出临界状态,临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程,这时存在着一个过渡的转折点,此转折点即为临界状态点。本章中,最基本的模型有二: 一是同样的粒子从磁场边界(如左边界)上某一点射入匀强磁场中时,磁场右边无限宽广,入射方向不变,但速度大小(或磁场磁感应强度大小)发生改变,根据qvB=m可知,半径R=会发生变化,根据半径跟速度垂直知粒子轨迹的圆心都落在过入射点与入射速度垂直的直线上,相当于圆心在同一直线上的圆的放缩,如图甲,它们从磁场左边界射出时,速度方向互相平行,在磁场中转过的角度相等。 二是粒子入射速度大小不变,但方向发生变化,同时磁感应强度不变,可知这种情况下,粒子的轨迹半径不变,圆心位于以入射点为圆心、以轨迹半径为半径的圆上,相当于一个固定大小的轨迹圆绕着入射点在旋转,如图乙。 放缩圆 [例1] 电子打在荧光屏上发光的现象广泛应用于各种电器,比如示波器和老式电视机显像管等。如图甲所示,长方形MNPQ区域(MN=PQ=3d,MQ与NP边足够长)存在垂直纸面向里的匀强磁场,其磁感应强度大小为B。有一块长为5d、厚度不计的荧光屏ab,其上、下两表面均涂有荧光粉,平行NP边放置在磁场中,且与NP边相距为d,左端a与MN相距也为d。电子由阴极K等间隔地发射出来(已知电子质量为m,电荷量为e,初速度可视为零)经加速电场加速后,沿MN边进入磁场区域,电子打到荧光屏就被吸收。忽略电子所受重力和一切阻力。 (1)如果加速电场的电压为U,求电子刚进入磁场的速度大小; (2)调节加速电压,求电子落在荧光屏上,使荧光屏发光的区域长度; (3)若加速电压按如图乙所示的图像变化,求从t=0开始一个周期内,打在荧光屏上的电子数相对总电子数的比例;并分析提高该比例的方法,至少提出两种。 解析:(1)由动能定理得eU=mv2, 解得v=。 (2)打在荧光屏a点的电子,由几何关系得 =(2d)2+(R1-d)2,解得R1=2.5d, 则|af|=2.5d+-d=3d。 ①若减小电子的速度,电子打到荧光屏的下表面,临界条件是轨迹相切于c点,是电子的最小速度,由几何关系可知,对应电子做圆周运动的半径R2=2d,因此ac区域长度是|ac|=d。 ②若增大电子的速度,电子打到荧光屏上表面,临界条件是电子运动轨迹与NP相切,由几何关系得R3=3d, 那么|ag|=3d+-d, 解得|ag|=2d+d, 由于|af|=3d, 那么|fg|=d-d, 发光区域的总长度为Δd=|ac|+|fg|=d。 (3)由第(2)步可知,电子半径在2d≤R≤3d的区间内,电子能打在荧光屏上, 结合evB=m与eU=mv2,得U=, 可求得当≤U≤时电子能打在荧光屏上, 因此η=×100%=62.5%; 提高电子打在荧光屏上比例的方法有: ①扩大荧光屏上方磁场区域; ②荧光屏左端适当往左移一些; ③荧光屏适当往MQ端移动; ④适当减小加速电压的最大值; ⑤适当增大加速电压的最小值。 答案:(1)　(2)d　(3)见解析 [变式1]直角坐标系xOy位于竖直平面内,在第一象限存在磁感应强度B=0.1 T、方向垂直于纸面向里、边界为矩形的匀强磁场。现有一束比荷为=108 C/kg、带正电的离子,从磁场中的A点( m,0)沿与x轴正方向成θ=60°角射入磁场,速度大小v0≤1.0×106 m/s,所有离子经磁场偏转后均垂直穿过y轴的正半轴,不计离子受到的重力和离子间的相互作用。 (1)求速度最大的离子在磁场中运动的轨道半径; (2)求矩形有界磁场区域的最小面积; (3)若在x>0区域都存在垂直于纸面向里的磁场,离子仍从A点以v0=×106 m/s向各个方向均匀发射,求y轴上有离子穿出的区域长度和能打到y轴的离子占所有离子数的百分比。 解析:(1)根据洛伦兹力提供向心力有 qv0mB=m,代入数据解得R=0.1 m。 (2)如图甲所示,根据几何关系可知,速度最大的离子在磁场中运动的圆心在y轴上的B(0, m)点,离子从C点垂直穿过y轴,所有离子均垂直穿过y轴,即速度偏向角相等,AC连线应该是磁场的边界,满足题意的矩形如图甲所示,根据几何关系可得矩形长为= m,宽为R-Rcos θ= m,则面积S= m2。 (3)根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m, 解得R0= m, 临界1　根据图乙可得与x轴成30°角射入的离子打在y轴上的B点,AB为直径,所以B点为y轴上有离子经过的最高点,根据几何知识可得OB= m; 临界2　根据图乙可得,沿着x轴负方向射入磁场中的离子与y轴相切于C点,所以C点为y轴有离子打到的最低点,根据几何知识有OC= m,所以y轴上B点至C点之间的区域有离子穿过, 且长度为BC= m,根据