5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课程名称：5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 学科：数学 年级：高一 必修第一册 我们知道，单位圆上的点，以（1,0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数刻画。 对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？ 复习回顾 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度H与时间t的关系吗？ 问题1 因为筒车上的盛水桶在做匀速圆周运动，可以考虑用三角函数模型来刻画它的运动规律。 水面 将筒车抽象为一个几何图形 问题2 如何建立直角坐标系？ 问题3 与盛水桶运动相关的量有哪些？ 转轮的中心O到水面的距离h 筒车的半径r 筒车转动的角速度ω 经过的时间 t 盛水筒的初始位置P0 x y 构建函数模型 以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设t=0时，盛水筒M位于P0， 以Ox为始边，OP0为终边的角为φ， 水面 所以 H=r sin(ωt+φ)+h ② ωt OP为终边的角为ωt+φ 则 y = r sin(ωt+φ) ① 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律。而h为常量，我们可以只研究①的性质。 φ 经过t s后运动到点P(x,y) （1）由最低点到达最高点是半圈，耗时10分钟 （2）建立如图所示直角坐标系 设该盛水筒距离水面的高度为y，可得 令 即 所以 解得 所以转动一周的过程中，水流出的时间为 分钟 巩固练习1 某筒车半径为１０米，筒车转轮中心距离水面的高度为６米，筒车逆时针匀速转动，每２０分钟转一圈，某个盛水筒开始时位于最低点，则 （１）这个盛水筒经过几分钟第一次到达最高点？ （２）当盛水筒距离水面高度不低于１１米时，其中的水会流出，则在转动一周的过程中，水流出的时间是多少？ 巩固练习2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动五后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位：)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1). 如图，设座舱离地面最近的点为P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系。 最高点高度120m 转盘直径110m 最高点高度120m 转盘直径110m （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； 解:(1)设t＝0 min时，甲位于点P(0,-55)，以OP为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得： 最高点高度120m 转盘直径110m 解:(2) 当t＝5时， （2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度； 经过tmin后甲离地面的高度 点B相当于点A始终落后 rad， 此时乙距离地面的高度 两人距离地面的高度差 (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位：)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1) 巩固练习3 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面 直角坐标系，设秒针指尖指向位置 。若初始位置 为 ，秒针从 （注：此时t=0）开始顺时针方向 走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系式为 初始角度 顺时针转动，所以角速度为负值，60秒转 弧度，所以角速度为 所以 用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？ 实际问题 数学问题 三角函数模型 求解三角函数问题 实际问题的解 抽象 转化 引入 构建 课堂小结 作业 课本241页 第7题 Lavf58.20.100 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm tailor v0.2.28 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm tailor v0.2.31 $$