“4翼”检测评价（19） 向量与平行（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

“四翼”检测评价（十九） 向量与平行 (一)基础落实 1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的一个方向向量.若l1∥l2，则(　 ) A.x＝6，y＝15 　　　　 B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 　　　　 D.x＝6，y＝ 解析：选D　由l1∥l2，得＝＝，解得x＝6，y＝. 2.已知平面α的一个法向量是(2,3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　 ) A.－ B.6 C.－6 D. 解析：选B　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.∴＝＝，∴λ＝6. 3.若平面α∥平面β，则下面可以是这两个平面的法向量的是(　 ) A.n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B.n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C.n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D.n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 解析：选D　因为平面α∥平面β，所以两个平面的法向量互相平行.只有D项符合.故选D. 4.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　 ) A.α∥β 　　　　 B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 　　　　 D.以上都不对 解析：选A　由题意得＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1).∵n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥，n⊥，∴n也为α的一个法向量， 又α与β不重合，因此α∥β.故选A. 5.(多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论正确的有(　 ) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 解析：选ACD　∵＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ∴∥，从而A1M∥D1P，可得A、C、D正确. 又B1Q与D1P不平行，故B不正确. 6.已知m＝(1,2，－1)为平面α的一个法向量，n＝(－2，t,1) 为直线l的一个方向向量，若l∥α，则t＝ ____________. 解析：∵l∥α，∴m⊥n，∴m·n＝1×(－2)＋2t＋(－1)×1＝0，解得t＝. 答案： 7.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________. 解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y.∵＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1) ＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3. 答案：－3 8.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________. 解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设AB＝a，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a,0,1)，D(0，1,0)，E，＝(a,0,1)，＝，＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE， ∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ， 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ＝. ∴∴b＝λ＝，即AP＝. 答案： 9.已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c， 则A(a,0，0)，C1(0，b，c)， E，F， ∴＝，＝(－a，b，c)， ∴＝.又FE与AC1不共线，∴EF∥AC1. 10.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 证明：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，则A(0,0,0)，B，B1，C1(0，a，b)，D， ∴＝，＝，＝. 设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a). ∵·n＝ab－ab＝0，∴⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. (二)综合应用 11.(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　 ) A.A1E⊥AC1 B.BF∥