“4翼”检测评价（18） 向量与垂直（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

“四翼”检测评价（十八） 向量与垂直 (一)基础落实 1.设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　 ) A.1 B. C. D.3 解析：选B　因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，解得m＝. 2.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是(　 ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 解析：选B　a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 3.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　 ) A.(1，－1,1) B. C. D. 解析：选B　要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验. 对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.同理，选项C、D也不符合要求，故选B. 4.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　因为⊥，所以·＝(1,5，－2)·(3,1，z)＝0，解得z＝4. 因为BP⊥平面ABC，所以⊥，⊥， 可得解得 所以＝. 5.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　 ) A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A 解析：选B　设正方体棱长为2，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，E(1,1,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－2，－2,0).所以·＝－2＋2＋0＝0.所以⊥，即CE⊥BD.＝(－2,2,0)，＝(－2,0,0)，＝(0,0，－2)，所以·＝－2－2＋0＝－4≠0，·＝－2≠0，·＝－4≠0，故选B. 6.若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝________. 解析：∵l⊥α，∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量.∴＝＝，∴m＝4. 答案：4 7.已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对. 解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0. ∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直. 答案：0 8.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系： (1)直线l1，l2的一个方向向量分别是a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面α，β的一个法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线l的一个方向向量、平面α的一个法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3). 解：(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0， ∴l1⊥l2. (2)∵v＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3u， ∴α∥β. (3)∵a·u＝－7≠0，∴l不与α平行，也不在α内. 又a，u不共线，∴l与α不垂直，故l与α斜交. 9.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB. 证明：以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设CD＝2a，AD＝b. 则E(a,0,0)，C(2a,0,0)，A(0，b,0)，B(2a，b,0)，P(0,0，b)，F，＝，＝(2a，b，－b)，＝(2a,0,0).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即取y＝1，则x＝0，z＝1，n＝(0,1,1)，∴＝n，∴∥n，∴EF⊥平面PAB. (二)综合应用 10.(多选)如图，点E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的有(　 ) A.直线AD与直线C1M始终是异面直线 B.存在点M，使得B1M⊥AE C.四面体EMAC的体积为定值 D.当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC 解析：选BCD　对于A，连接AC1交BD1于点O，当点M在O点时直线AD与直线C1M相交，故A不正确；以D为坐标原点， 建立如图所示的空