“4翼”检测评价（17） 空间直线的方向向量和平面的法向量（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

“四翼”检测评价（十七） 空间直线的方向向量和平面的法向量 1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　 ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 解析：选A　∵＝(2,4,6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A. 2.设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　 ) A.(－1，－2,5) B.(－1,1，－1) C.(1,1,1) D.(1，－1，－1) 解析：选B　平面α的法向量应当与a，b都垂直，可以检验知B选项适合. 3.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　 ) A.(0,1,2) B.(3,6,9) C.(－1，－2,3) D.(3,6,8) 解析：选B　一个平面的法向量是共线向量，而向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线，故选B. 4.(多选)已知α，β为两个不重合的平面，l为α上的一条直线，且其方向向量为(4,3，－2)，若α∥β，则平面β的法向量可能为(　 ) A.(0,2,3) B.(5,0,10) C.(－2,4,2) D.(1，－1,3) 解析：选ABC　(4,3，－2)·(0,2,3)＝0＋6－6＝0，(4,3，－2)·(5,0,10)＝20＋0－20＝0，(4,3，－2)·(－2,4,2)＝－8＋12－4＝0，(4,3，－2)·(1，－1,3)＝4－3－6＝－5.知A、B、C都有可能，D不可能. 5.(多选)已知直线l过点P且平行于向量a＝，平面α过直线l与点M，则平面α的法向量可能是(　 ) A. B. C. D. 解析：选ABC　由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量a＝(2,1,1)和向量，而＝(0,2,4)， 选项A，(2,1,1)·(1，－4,2)＝0，(0,2,4)·(1，－4，2)＝0满足垂直，故正确； 选项B，(2,1,1)·＝0，(0,2,4)·＝0满足垂直，故正确； 选项C，(2,1,1)·＝0，(0,2,4)·＝0满足垂直，故正确； 选项D，(2,1,1)·(0，－1,1)＝0，但(0,2,4)·(0，－1，1)≠0，故错误. 6.已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且＝，∴＝，即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，∴∴x＝，y＝－1，z＝.因此点C的坐标为.故选C. 7.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是(　 ) A.直线DD1的一个方向向量为 B.直线BC1的一个方向向量为 C.平面ABB1A1的一个法向量为 D.平面B1CD的一个法向量为 解析：选ABC　不妨设正方体的棱长为1，DD1∥AA1，而AA1的一个方向向量是(0,0,1)，A正确； C1(1,1,1)，B(1,0,0)，＝(0,1,1)，(0，－1，－1)与(0,1,1)平行，B正确； AD⊥平面ABB1A1，而＝(0,1,0)，因此C正确； 平面B1CD即为平面B1CDA1，如图， 在正方体AC1中，AD1⊥A1D，由CD⊥平面DAA1D1，AD1⊂平面DAA1D1，得CD⊥AD1，CD∩A1D＝D，CD，A1D⊂平面B1CDA1，所以AD1⊥平面B1CDA1，而＝(0,1,1)，即平面B1CD的一个法向量为(0,1,1)，而向量(0,1,1)与向量(1,1,1)不平行，D错. 8.已知直线l的一个方向向量为e＝(－1,1,2)，平面α的一个法向量为n＝，若l⊥α，则实数λ的值为________. 解析：因为l⊥α，即e∥n，可得＝，解得λ＝－. 答案：－ 9.已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，如图建立空间直角坐标系，则平面OCB1的一个法向量n＝________. 解析：易得O(0,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，∴＝(0,1,0)，＝(1,1,1).设n＝(x，y，z)，∵·n＝y＝0，·n＝x＋y＋z＝0，故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1.∴平面OCB1的一个法向量为n＝(1,0，－1)(答案不唯一). 答案：(1,0，－1)(答案不唯一) 10.已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标. 解：(1