4.1 成对数据的统计相关性（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

　 4.1　成对数据的统计相关性 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，能够理解两个变量的线性相关关系以及正相关、负相关. 2.利用给出的数据会画两个变量的散点图，通过散点图能够判断出两个变量的相关性. 3.了解两个随机变量间的相关系数r，会利用公式求相关系数r，并能利用相关系数r判断两个随机变量间线性相关程度的强弱. 重点 难点 重点：相关系数的计算及应用. 难点：理解变量的相关性. 一散点图 以两个变量x，y的取值分别为横、纵坐标建立直角坐标系，则每对数据(xi，yi)都可在直角坐标系中用一个点Pi(i＝1,2，…，k)表示.这些点称为散点，由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图. 1.(多选)下列说法正确的是(　 ) A.同一物体的加速度与作用力是函数关系 B.产品的成本与产量之间的关系是相关关系 C.圆的周长与面积的关系是相关关系 D.学生的身高与体重是相关关系 答案：ABD 2.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断(　 ) A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 解析：选C　由这两个散点图中的点的散布情况可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C. 二相关系数 1.相关系数的定义 一般地，对n个成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，我们用{xi}表示数据x1，x2，…，xn，{yi}表示数据y1，y2，…，yn，用＝i，＝i分别表示{xi}与{yi}的均值，用sx＝，sy＝分别表示{xi}与{yi}的标准差.记sxy＝－　＝(xi－)(yi－)，则当sxsy≠0时， 我们称rxy＝＝ ＝ ＝为{xi}和{yi}的相关系数. 2.相关系数的性质 (1)rxy的取值范围是[－1,1].当0＜rxy＜1时，称{xi}和{yi}正相关；当－1＜rxy＜0时，称{xi}和{yi}负相关；当rxy＝0时，称{xi}和{yi}不相关. (2)|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近. (3)|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低. (4)rxy具有对称性，即rxy＝ryx. (5)rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量.rxy＝0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系. 3.相关系数与向量夹角 为了两个向量表达的一致性，用余弦来刻画两个向量的相关关系时，通常将向量的每个元素都减去均值，形成a＝(x1－，x2－，…，xn－)，b＝(y1－，y2－，…，yn－)，从而有cos〈a，b〉＝＝. 由上可知，用两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值与相关系数公式本质上是一致的. 当夹角属于时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的正相关程度越高；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的正相关程度越低. 当夹角属于时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的负相关程度越低；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的负相关程度越高. 当夹角为时，余弦值为0，这说明两组数据不相关. 1.某部门所属的10个工业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)： 固定资产价值 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工业增加值 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 根据上表资料计算得相关系数r＝0.991 8，则固定资产价值与工业增加值之间的线性相关程度________.(填“较强”或“较弱”) 解析：由于相关系数r＝0.991 8接近于1，所以固定资产价值与工业增加值之间的线性相关程度较强. 答案：较强 2.一唱片公司欲知晓唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：i＝28，＝303.4，i＝75，＝598.5，iyi＝237，则y与x的相关系数r为________. 解析：由题中数据可知r＝＝0.3. 答案：0.3 ————————————————————————————————— 散点图及应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，判断它们是否有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别. 表1 A