3.2.3 离散型随机变量的数学期望（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

3.2.3　离散型随机变量的数学期望 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解离散型随机变量的数学期望的概念和意义，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望. 2.掌握离散型随机变量的数学期望的性质和两点分布、超几何分布及二项分布的数学期望. 3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关的实际问题. 重点 难点 重点：离散型随机变量的数学期望的实际应用. 难点：理解离散型随机变量的意义. 1.离散型随机变量的数学期望的定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的数学期望或均值. 理解数学期望要注意以下三点 (1)离散型随机变量的数学期望是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均，由于离散型随机变量的所有取值的概率满足i＝1，所以数学期望是以概率pi为权数的加权平均数. (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量，可以取不同的值，但E(X)是X的一个特征数，它是不变的，它描述X取值的平均水平. (3)E(X)与随机变量X本身具有相同的单位. 2.离散型随机变量数学期望的意义 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平. 3.几种常见分布的数学期望 (1)两点分布的数学期望：若X服从两点分布，则有若X～B(1，p)，则E(X)＝p. (2)若离散型随机变量X服从二项分布，则有若X～B(n，p)，则E(X)＝np. (3)若离散型随机变量X服从超几何分布(N，M，n)，则有若X～H(N，M，n)，则E(X)＝. 4.数学期望的性质 若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b. 1.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　 ) A. B.2 C. D.3 答案：A 2.已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 a 则E(2X＋0.2)＝(　 ) A.4.8 B.5 C.6 D.8.4 答案：B 3.若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________，若随机变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________. 解析：E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝. 答案：　 —————————————————————————————————— 离散型随机变量数学期望的性质及应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　(1)随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)＝(　 ) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 (2)某射手射击所得环数ξ的分布列如表： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________. [解析]　(1)由题意得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A. (2)依题意得 即解得 [答案]　(1)A　(2)0.4 [方法技巧] 与离散型随机变量数学期望的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ).　　 [对点训练] 1.已知随机变量X的分布列如表： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y). 解：(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)由题意，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. ————————————————————————————————— 三种特殊分布的数学期望 —————————————————————————————————————— [典例2]　(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　 ) A.3 B.4 C.5 D.2 (2)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则 ①投篮1次时命中次数X的数学期望为______； ②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为______.