3.2.2 第2课时 超几何分布（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第 2 课时　超几何分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念. 2.会利用超几何分布解决简单的实际问题. 重点 难点 重点：超几何分布的应用. 难点：超几何分布的理解. 一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，l，其中l＝min{M，n}，且M≤N，n≤N－M，n，M，N∈N＋，称分布列 X 0 1 … l P … 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n). 对超几何分布的理解 (1)“任取n件”应理解为“一次抽取n件”或“不放回地逐一抽取n件”不能理解为“有放回地抽取n件”.这是区分二项分布与超几何分布的一个主要标准. (2)“X＝k”表示从含有M件次品的N件产品中抽取n件，其中含有k件次品这一随机事件.N件产品分为两类：次品，正品.所抽取的n件产品由这两类产品中的一部分组成，即CC种情况(基本事件数)，所以P(X＝k)＝. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.(　 ) (2)超几何分布的模型是不放回抽样.(　 ) (3)超几何分布的随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量.(　 ) (4)超几何分布中随机变量的取值一定从0开始.(　 ) (5)超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝. ————————————————————————————————— 超几何分布的概念 —————————————————————————————————————— [典例1]　30件产品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不服从超几何分布的是(　 ) A.抽取的5件产品中的一等品数 B.抽取的5件产品中的二等品数 C.抽取的5件产品中的三等品数 D.30件产品中的三等品数 [解析]　选项A，B，C中的产品数都是变量，且满足超几何分布的形式和特点，而选项D中的三等品数是常数，不是变量.故选D. [答案]　D [方法技巧] “超几何分布”模型的识别、判断 “超几何分布”是常见的概率模型，广泛地取材于现实生活、生产实践中的问题，如产品中的合格品与不合格品、盒中的红球与黑球、学生中的男生与女生等等.应用“超几何分布”模型求概率，关键在于这种模型的识别与判断.具体来说，这类问题的特点为 (1)总体中含有两类不同的个体； (2)不放回抽取，且无先后顺序； (3)随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量.　　 [对点训练] 1.(多选)一袋中有除颜色、编号外完全相同的10个球，其中有6个黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　 ) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 解析：选BD　由超几何分布的概念知A错误、B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为P＝＝，故D正确. —————————————————————————————————— 利用超几何分布求概率 —————————————————————————————————————— [典例2]　袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是. (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列. [解]　(1)设白球的个数为x，则黑球的个数为10－x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则P(A)＝1－＝，解得x＝5或x＝14(舍去).故白球有5个. (2)X服从以10,5,3为参数的超几何分布，P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 P [方法技巧] 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.