2.4.2 第2课时 向量与平行（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第 2 课时　向量与平行 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 重点 难点 重点：利用空间向量判定平行关系. 难点：利用空间向量证明线面、面面平行. 空间中平行关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线平行 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 面面平行 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 在利用向量判断直线、平面之间的平行关系中，要注意特殊的情况： (1)若两直线的方向向量平行，则直线可能平行，也可能重合； (2)若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线可能与平面平行，也可能在平面内； (3)若两平面的法向量平行，则平面可能平行，也可能重合. 1.已知a＝，b＝分别是直线l1，l2的一个方向向量.若l1∥l2，则(　 ) A.x＝3，y＝　　　　　 B.x＝，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝3，y＝ 答案：D 2.若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　 ) A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合 答案：D 3.设平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　 ) A.2 B.－4 C.4 D.－2 答案：C —————————————————————————————————— 向量法证直线与直线平行 —————————————————————————————————————— [典例1]　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. [证明]　法一：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c， ∴＝，∴∥.又∵R∉MN， ∴MN∥RS. 法二：如图所示，建立空间直角坐标系A­xyz， 根据题意得M，N(0,2,2)， R(3,2,0)，S. ∴＝，＝， ＝，∴∥. ∵M∉RS，∴MN∥RS. [方法技巧] 证明线线平行的依据与思路 (1)依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R). (2)思路：①建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明； ②用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明.　　 [对点训练] 1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 证明：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为1， 则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F， 所以＝，＝，＝，＝， 所以＝，＝， 所以∥，∥， 又因为F∉AE，F∉EC1，所以AE∥FC1，EC1∥AF，所以四边形AEC1F是平行四边形. —————————————————————————————————— 向量法证直线与平面平行 —————————————————————————————————————— [典例2]　如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点.求证：C1F∥平面ABE. [证明]　以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B(0,0,0)，A(0，b,0)，A1(0，b，c)，C1(a,0，c)，F，E . 所以＝(0，－b,0)，＝. 设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝. 又＝，所以n·＝0， 又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. [方法技巧] 利用空间向量证明线面平行的3种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.　　 [对点训练] 2.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，