2.4.2 第1课时 向量与垂直（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4.2　空间线面位置关系的判定 第 1 课时　向量与垂直 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 重点 难点 重点：利用空间向量判定垂直关系. 难点：利用空间向量证明线面、面面垂直. 一三垂线定理 1.三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直. 2.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D与BD1的位置关系为(　 ) A.相交 　　　 B.平行 C.垂直 　　　 D.无法判断 解析：选C　因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面ADD1A1，故BD1在平面ADD1A1内的投影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1. 二空间中垂直关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 (1)用向量刻画空间中直线与平面间的平行、垂直等位置关系时，要注意线面关系与向量关系的异同，可简记为“同类同性，异类相反”，即线线平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直)，但线面平行(垂直)中向量变为垂直(平行)； (2)由于直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的，所以运用时应以运算简便为标准进行选择. 1.若直线l的一个方向向量为μ＝(1，－2,3)，平面α的一个法向量为n＝(－2,4，－6)，则(　 ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交 答案：B 2.已知平面α的一个法向量为a＝(2,3，－1)，平面β的一个法向量为b＝(1,0，k)，若α⊥β，则k等于(　 ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案：C 3.已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________. 答案：垂直 4.若直线的一个方向向量为u1＝，平面的一个法向量为u2＝(3,2，z)，则当直线与平面垂直时，z＝________. 答案： ————————————————————————————————— 向量法证明直线和直线垂直 ————————————————————————————————————— [典例1]　如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. [证明]　法一：设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1， a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)， ＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c， ∴·＝(a＋c)·＝－＋cos 60°＋0－0＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 法二：设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得A，B，C，N，B1， ∵M为BC中点， ∴M.∴＝， ＝(1,0,1)， ∴·＝－＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. [方法技巧] 向量法证明线线垂直的思路方法 用向量法证明空间中两条直线l1，l2互相垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b互相垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种： (1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0. (2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.　　 [对点训练] 1.如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，BC的中点.证明：PF⊥FD. 证明：如图，建立空间直角坐标系A­xyz，则F(1,1,0)，D(0,2,0). 不妨令P(0,0，t)， ∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)， ∵·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0， ∴⊥，即PF⊥FD. —————————————————————————————————— 向量法证明直线和平面垂直 ————————————————————————————————