2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量语言表述直线和平面. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量. 重点 难点 重点：求直线的方向向量和平面的法向量. 难点：对直线的方向向量及平面的法向量概念的理解. 一直线的方向向量 1.空间中点P的位置 在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，称为点P的位置向量. 2.直线的方向向量 一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量. 1.若A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　 ) A. B. C. D. 答案：D 2.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z＝(　 ) A.0 B.1 C. D.3 答案：A 二平面的法向量 (1)如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量. (2)设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0.反过来，满足此式的点P都在平面α内，所以把此式称为平面α的一个向量表示式. 在求平面的法向量时，方程组有无数多个解，所以平面的法向量不是唯一的，只需给x，y，z中的一个变量赋予一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　 ) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行.(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2.已知向量＝，＝，则平面ABC的一个法向量为(　 ) A. B. C. D. 答案：D —————————————————————————————————— 求直线的方向向量 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图，在三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一组基，求直线AD，AE的一个方向向量. [解]　＝＋＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. ＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量为b＋c. [方法技巧] 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.　　 [对点训练] 1.在四棱锥P­ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一组基，求直线AE的一个方向向量. 解：如图所示，＝＋＝＋＋(－)＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c， 故直线AE的一个方向向量是a＋b＋c. —————————————————————————————————— 求平面的法向量 —————————————————————————————————————— [典例2]　如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝.试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量. [解]　易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0)，C(，1,0)，D1(0，3,3)， 所以＝(0,3,3)，＝(，1,0). 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量. 则即 令x＝1，则n＝(1，－，). 所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，). [拓展] 1.本题条件不变，试求直线B1D的一个方向向量和平面B1CD的一个法向量. 解：由典例易得B1(，0,3)，C(，1,0)，D(0,3,0)， 所以＝(－，3，－3)，＝(0,1，－3). 设n＝(x，y，z)是平面B1CD的法向量， 则即 所以令z＝1，则x＝2，y＝3. 所以直线B1D的一个方向向量为(－，3，－3)，平面B1CD的一个法向量为(2，3,1). 2.若把本题的条件∠BAD＝90°改为∠CAD＝90°，其他条件不变，则结果又是什么？ 解：如图，以A为坐标原点，AC，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(，0,0)，D1(0,3,3). 所以AD1＝(0,3,3)，＝(，0,0). 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量. 则即 所以令z＝1，则y＝－1. 所以平面ACD