2.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.3.2　空间向量运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握空间向量运算的坐标表示. 2.掌握空间向量数量积的坐标表示. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的坐标表示. 重点难点 重点：空间向量运算的坐标表示. 难点：利用向量运算的坐标表示解决立体几何问题. 一向量线性运算的坐标表示 设a＝(x1，x2，x3)，b＝(y1，y2，y3). 名称 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋y1，x2＋y2，x3＋y3) 减法 a－b＝(x1－y1，x2－y2，x3－y3) 数乘 λa＝(λx1，λx2，λx3)(λ∈R) 共线 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λy1，x2＝λy2，x3＝λy3(λ∈R) 1.下列向量中，与向量a＝(0,0,1)平行的向量为(　 ) A.b＝(1,0,0) B.c＝(0,1,0) C.d＝(－1，－1，－1) D.e＝(0,0，－1) 答案：D 2.已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　 ) A.(2，－4,2) B.(－2,4，－2) C.(－2,0，－2) D.(2,1，－3) 答案：B 二向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，x2，x3)，b＝(y1，y2，y3). 名称 坐标意义 数量积 a·b＝x1y1＋x2y2＋x3y3 向量长度 |a|＝ ＝ 向量夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1y1＋x2y2＋x3y3＝0 1.已知a＝(1,2,3)，b＝(3,0，－1)，c＝，给出下列等式：①(a＋b)·c＝a·(b＋c)；②(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2；③(a·b)·c＝a·(b·c).其中正确的有(　 ) A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝________. 解析：∵a＋b＝(－2,1，x＋3)，∴(a＋b)·c＝－2－x＋2(x＋3)＝x＋4.又∵(a＋b)⊥c，∴x＋4＝0，即x＝－4. 答案：－4 —————————————————————————————————— 空间向量的坐标运算 —————————————————————————————————————— [典例1]　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q； (2)3p－q； (3)(p－q)·(p＋q)； (4)cos〈p，q〉. [解]　因为A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6). (1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9). (2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. (4)cos〈p，q〉＝ ＝ ＝＝－. [方法技巧] 空间向量的坐标运算方法 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式： (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.　　 [对点训练] 1.若向量a＝(4,2，－4)，b＝(2,1，－1)，则2a－3b＝(　 ) A.(6,3，－7) B.(－2，－1，－1) C.(2,1，－5) D.(14,7，－11) 解析：选C　因为a＝(4,2，－4)，b＝(2,1，－1)，所以2a－3b＝2(4,2，－4)－3(2,1，－1)＝(2,1，－5). 2.若a＝(2,3，－1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(　 ) A.(4,6，－5) B.5 C.7 D.36 解析：选B　b＋c＝(2,0,3)＋(0,2,2)＝(2,2,5)，a·(b＋c)＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5. 3.已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标：(1)＝(－)；(2)＝(－). 解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1). (1)＝(－)＝(6,3，－4)＝，则点P的坐标为. (2)设P(x，y，z)，则