2.3.1 空间向量的分解与坐标表示（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解空间向量共面的充要条件. 2.理解空间向量基本定理及其意义. 3.掌握空间向量的分解. 重点难点 重点：空间向量基本定理，空间向量的直角坐标表示. 难点：选择恰当的基表示向量. 一共面向量 1.共面向量的定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.共面向量的充要条件 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2. 这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示. 在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面. 1.当向量a，b不共线时，a＋2b与2a－b的关系是(　 ) A.共面 B.不共面 C.共线 D.无法确定 答案：A 2.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由＝－2＋＋λ可确定点M与A，B，C共面，则λ＝________. 答案：2 (二)空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1＋ye2＋ze3， 上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量.(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基.(　 ) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间的一组基.(　 ) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}，使0λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　 ) (4)若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.若{a，b，c}是空间的一组基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基的向量是(　 ) A.a B.b C.c D.2a 答案：C 3.正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为空间的一组基，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　 ) A.1,1,1 B.，， C.，， D.2,2,2 答案：A 三空间向量的直角坐标表示 1.标准正交基 空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基. 2.向量p在正交基下的坐标表示 空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p＝xi＋yj＋zk，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p＝(x，y，z). 向量p＝在标准正交基{i，j，k}下的坐标(x，y，z)就是点P在这个直角坐标系中的坐标. 3.空间向量在空间直角坐标系中的坐标表示 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标. 4.空间向量的投影 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标. 1.若{e1，e2，e3}是标准正交基，已知p＝e1＋2e2－e3，则向量p的坐标为_______. 答案：(1,2，－1) 2.若向量p在标准正交基{e1，e2，e3}下的坐标是(1,2,3)，则向量p在标准正交基{e1，e2，e3}下的分解式为________. 答案：p＝e1＋2e2＋3e3 ————————————————————————————————— 空间向量共面问题 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，， 共面. [证明]　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理，＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面. [方法技巧] 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.　　 [对点训练] 1.已知A，B，