2.2 第2课时 向量的数量积（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第 2 课时　向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标要求 掌握空间向量的数量积运算. 重点难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质. 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. 1.数量积的定义 如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，因此与平面向量夹角的定义一样，我们把∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其取值范围为[0，π].定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. 2.数量积的性质 (1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； (2)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (3)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (4)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立). 3.数量积满足的运算律 运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) 4.投影向量 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上的投影向量，投影向量的模||＝|||cos α|称为投影长. 5.数量积的几何意义 a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角.(　 ) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　 ) (3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈－a，－b〉相等.(　 ) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　 ) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是(　 ) A. 〈，〉　　 B. 〈，〉 C. 〈，〉　　 D. 〈，〉 答案：B 3.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，则在AC上的投影向量的模为________；在平面ABCD内的投影向量的模为________. 答案：　2 ————————————————————————————————— 空间向量数量积的计算 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)； (3)|＋＋|. [解]　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1. 〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. (3)|＋＋|＝＝＝. [方法技巧] 1.空间向量的数量积的运算方法 已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算. 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.　　 [对点训练] 1.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　 ) A.1 B.0 C.－1 D.－2 解析：选B　由题意得，a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 2.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则·＝(　 ) A.1 B.－1 C. D.－ 解析：选A　如图，可知＝＋，∴·＝·(＋)＝·＋·＝2×2×cos 60°＋2×1×cos 120°＝1.故选A. ————————————————————————————————— 利用空间向量数量积求夹角 ———————————————————————————————————— [典例2]　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，求cos〈，〉的值. [解]　因为＝－＝＋－，＝＋，