2.2 第1课时 空间向量的基本概念及线性运算（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.2　空间向量及其运算 第 1 课时　空间向量的基本概念及线性运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算. 3.掌握空间向量的数乘运算. 重点难点 重点：理解空间向量的加减、数乘运算. 难点：空间向量线性运算. (一)空间向量的基本概念 1.空间向量的定义及表示 定义 在空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 模 空间向量a的大小(或长度)称为a的模(记为|a|) 表示法 要表示向量a，可以从空间中任意一点A出发作有向线段，使的方向与a相同，长度与|a|相等，则有向线段表示向量a，记为a＝ 2.几类特殊向量 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 零向量 始点与终点重合的向量，记作0，|0| 1.(多选)下列命题中，是真命题的为(　 ) A.若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有＝ 答案：CD 2.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有(　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C (二)空间向量的加减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1.化简－＋所得的结果是(　 ) A. B. C.0 D. 答案：C 2.已知空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　＋－＝＋＝. (三)向量与实数相乘 1.向量与实数相乘 在空间中，向量a与实数相乘有|λa|＝|λ||a|. 当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反. 2.单位向量 长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a，可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a，其中|e|＝1. 3.共线向量 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a. 零向量的方向可以任取，又00a，则0是任意向量a的0倍，因此零向量与任意向量共线. 4.空间向量与实数的乘法运算律 (1)λ(a＋b)＝λa＋λb.(对向量加法的分配律) (2)(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.(对实数加法的分配律) 空间向量数乘运算的注意点 (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义. (2)任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时). (3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. 1.已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为(　 ) A.0 B.b C.－b D.－a 解析：选B　(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b. 2.如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则选项中与向量相等的是(　 ) A.－a－b－c B.a＋b＋c C.a－b－c D.a＋b－c 解析：选B　∵＝＋，＝，＝＋，∴＝(＋)＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选B. ————————————————————————————————— 空间向量的概念 —————————————————————————————————————— [典例1]　有下列关于空间向量的命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC­A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有3个.其中正确命题的个数为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]　①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也一定不相反；⑤错误，在三棱柱ABC­A1B1C1中，与AA1的模一定相等的向量是，，，，，共5个.故选A. [答案]　A [方法技巧] 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中