2.1 空间直角坐标系（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

　 2.1　空间直角坐标系 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系. 2.会用空间直角坐标系刻画点的位置. 3.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得到空间两点间的距离公式. 重点 难点 重点：空间中点的坐标. 难点：空间两点间距离公式的应用. 一点在空间直角坐标系中的坐标 1.空间直角坐标系 坐标系 定义 图示 空间直角坐标系 为了确定空间中的点的位置，我们可以在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O­xyz，如图，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面 右手系 建立空间直角坐标系时，一般将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系(如图) 2.点在空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，任意一点P与有序实数组(x，y，z)之间，建立了一一对应的关系，此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标. 3.落在坐标轴和坐标平面上的点的特点 1.已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是(　 ) A.(4,8,2) B.(4,2,8) C.(4,2,1) D.(2,4,1) 答案：D 2.以棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为(　 ) A. B. C. D. 答案：B 二空间两点间的距离 空间两点间的距离公式 (1)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝. (2)空间任意一点P(x，y，z)与原点O的距离|OP|＝. 1.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是(　 ) A.2 B.2 C.9 D. 答案：D 2.在空间直角坐标系中，已知点M(1,0,3)与N(－1,1，a)两点间的距离为，则a＝(　 ) A.2或4 B.2 C.4 D.－2 答案：A —————————————————————————————————— 空间中点的坐标 —————————————————————————————————————— [典例1]　已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. [解]　因为|PO|＝＝＝12，所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A，B，C，D. [方法技巧] 1.建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上； (2)充分利用几何图形的对称性. 2.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面xOy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上投影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标为(x，y，z). 3.已知点P的坐标确定其位置的方法 (1)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P的位置. (2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置. (3)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移确定点P的位置.　　 [对点训练] 1.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的空间直角坐标系，求出点C，B1，P的坐标. 解：如图，以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. ∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4， ∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，从而C(4,5,0)，B1(0,5,4)， 又D1(4,0,4)，P为B1D1的中点，∴P. 2.在空间直角坐标系中作出点P(5，4,6). 解：分别在x轴、y轴、z轴上确定坐标分别为5,4,6的点A，B，C，再过点A，B，C分别作与x轴、y轴、z轴垂直的平面，三个平面的交点即为所求的点P. ————————————————————————————————— 空间中点的对称问题 ————————————————————————————————————