1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.3.3　三次函数的性质：单调区间和极值 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用导数求给定区间上三次函数的极值. 2.会求函数的最大值、最小值. 3.体会导数与函数最大(小)值的关系. 重点 难点 重点：求函数的最大(小)值. 难点：对导数与函数最值的关系的理解. 1.三次函数的性质：单调区间和极值 设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数. (1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，则： ①若a＞0，则F′(x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②若a＜0，则F′(x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减. (2)函数F′(x)有一个零点x＝w，则： ①若a＞0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②若a＜0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减. (3)函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u＜v，则： ①若a＞0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负，对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增. 可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值. ②若a＜0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正，对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减. 可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值. 2.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.设在区间[a，b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在区间(a，b)上可导，有以下三个命题： ①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值； ②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值； ③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得. 其中正确的命题共有(　 ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：选A　由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间(a，b)内取得，故当在区间(a，b)内取得时，最值必是相应的极值，而当最值在区间端点处取得时，其最值一定不是极值，因此命题①②③都不正确. 2.函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是(　 ) A.f(1)与f(－1) B.f(1)与f(2) C.f(－1)与f(2) D.f(2)与f(－1) 解析：选B　f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，即4－4x3>0，解得x<1.同理，f′(x)<0，解得x>1，∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.∴f(x)＝4x－x4在x＝1处取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2). 3.函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　 ) A.无最值 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值 解析：选A　f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值. ————————————————————————————————— 三次函数的图象与性质 ————————————————————————————————————— [典例1]　(1)(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是(　 ) A.(－∞，2) B.(3，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－∞，3) (2)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间为(　 ) A.(－∞，－2] B.[3，＋∞) C.[－2,3] D. [解析]　(1)∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15.∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)>0，得x<2或x>3. (2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3.由f(x)的图象可知，f′(x)＝0，即ax2＋bx＋＝0的两根分别为－2,3，∴y＝ax2＋bx＋的对称轴为x＝＝.又a