1.3.2 函数的极值与导数（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.3.2　函数的极值与导数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.体会导数与极值的关系. 重点 难点 重点：求函数的极值及极值的应用. 难点：对函数极值与导数的关系的理解. 1.极值与极值点 (1)极大值点与极大值： 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，此时x0称为f(x)的一个极大值点. (2)极小值点与极小值： 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0称为f(x)的一个极小值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 2.极大值与极小值的判断 (1)如果y＝f(x)在(a，x0]上单调递增，在[x0，b)上单调递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值； (2)如果y＝f(x)在(a，x0]上单调递减，在[x0，b)上单调递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值. 3.导函数的零点与极值点的关系 导函数的零点可能不是函数的极值点.也就是说，若f′(c)存在，则f′(c)＝0是f(x)在x＝c处取到极值的必要条件，但不是充分条件. 4.驻点 若f′(c)＝0，则x＝c叫作函数f(x)的驻点. 如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点. 1.对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的. (2)若f(x)在某区间内有极值，则f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值. 2.对于函数极值点的认识 (1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的. (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0.并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点.(　 ) (2)函数的极小值一定小于它的极大值.(　 ) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值.(　 ) (4)如果f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点个数为(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 3.(多选)下列四个函数在x＝0处取得极小值的是(　 ) A.y＝x3 B.y＝x2＋1 C.y＝|x| D.y＝2x 解析：选BC　对于A，y＝x3在R上单调递增，无极值；对于B，y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，y＝2x在R上单调递增，故D不正确. —————————————————————————————————— 求函数的极值或极值点 —————————————————————————————————————— [典例1]　求下列函数的极值点和极值. (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3； (2)f(x)＝＋3ln x. [解]　(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此当x＝－1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－1)＝；当x＝3时，f(x)有极小值，并且极小值为f(3)＝－6. (2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0