1.3.1 第2课时 函数单调性的综合问题（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

间为(－∞， 2]. 13.(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)单调递增的函数是(　 ) A.f(x)＝x4 　 B.f(x)＝x－sin x C.f(x)＝xex 　 D.f(x)＝ex－e－x 解析：选BD　由f(x)＝x4，得f′(x)＝4x3，当x<0时，f′(x)<0，则函数在(－∞，0)为减函数，所以A错误；由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)＝x－sin x在(－∞，＋∞)单调递增，所以B正确；由f(x)＝xex，得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x<－1时，f′(x)<0，则函数在(－∞，－1)为减函数，所以C错误；由f(x)＝ex－e－x，得f′(x)＝ex＋e－x>0，所以f(x)＝ex－e－x在(－∞，＋∞)单调递增，所以D正确. 14.定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件： ①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)内是减函数； ②f(x)的导函数是偶函数； ③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.求函数y＝f(x)的解析式. 解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数， 所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.　　　　　① 由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，　　 ② 又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，　　　　　　③ 由①②③，得a＝，b＝0，c＝－1， 即f(x)＝x3－x＋3. 15.已知函数f(x)＝aln x＋＋x(a>0).若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直. (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间. 解：(1)f ′(x)＝－＋1， ∵f ′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，又a>0，∴a＝. (2)f ′(x)＝－＋1＝＝， ∵当x∈时，f ′(x)<0；当x∈时，f ′(x)>0， ∴f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 第 2 课时　函数单调性的综合问题 —————————————————————————————————— 讨论含参数的函数的单调性 —————————————————————————————————————— [典例1]　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性. [解]　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝， 设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a. 当a＝0时，f ′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数； 当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去). 当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0；当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0. ∴当a>0时，函数f(x)在区间内为减函数，在区间上为增函数. 综上，当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减. [拓展]　 若把本例的条件“a≥0”改为“a<0”，结果如何？ 解：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝， 设g(x)＝2x2－a，当a<0时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数. [方法技巧] (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误. (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.　　 [对点训练] 1.试确定函数f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调递减区间. 解：y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)， 令y′<0，得(x－a)(x－a2)<0. ①当a<0时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ②当0<a<1时，不等式的解集为a2<x<a，此时函数的单调递减区间为(a2，a)； ③当a>1时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ④当a＝0或a＝1时，y′≥0，此时，无单调递减区间. 综上所述，当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；当0<a<1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2，a)；当a＝0或a＝1时，无单调递减区间. —————————————————————————————————— 由函数的单调性求参数的取值范围问题 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知函数f(x)＝x3－