1.3.1 函数的单调性与导数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 1.3　导数在研究函数中的应用 1.3.1　函数的单调性与导数 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　利用导数研究函数的图象变化 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是(　　) A B C D 2.已知f'(x)是f(x)的导函数, f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是(　　) A　　　　　B C　　　　　D 3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　　　　.  4.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为　　　　　　　　.  题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间 5.函数f(x)=xex的单调递增区间是(　　) A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 6.函数f(x)=x2ln x的单调递增区间为(　　) A.(0,) B. C.(,+∞) D. 7.下列区间中,函数y=xcos x-sin x在其内是减函数的是(　　) A. B.(π,2π) C. D.(2π,3π) 8.函数f(x)=(x2+x+1)ex 的单调递减区间为　　　　.  9.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=3x2-2ln x; (2)f(x)=x+(b>0). 10.已知函数f(x)=ax2+2x-ln x的导函数f'(x)的一个零点为x=1. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题 11.函数f(x)=x2-2x+mln x 在定义域上是增函数,则实数m的取值范围为(　　) A.m≥ B.m> C.m≤ D.m< 12.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞) C.(0,3] D.(0,3) 13.若函数f(x)=(x2+k)ex在区间(-3,2)上单调递增,则实数k的取值范围是(　　) A.k≥1 B.k>1 C.k≥3 D.k≥8 14.若函数f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2),则a=　　　　.  15.若函数f(x)=(x2+mx)ex 的单调递减区间是,则实数m的值为　　　　,函数f(x)的单调递增区间是　　　　　　　.  16.已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R). (1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值; (2)若a>0,求f(x)的单调区间. 能力提升练 　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　利用导数比较大小 1.已知a=e,b=3log3e,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 2.已知x∈且a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b 3.已知a=,b=,c=ln ,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 4.(多选)已知 f(x)是奇函数,当x>0时, f'(x)-f(x)>1, f(1)=3,则(　　) A. f(4)>ef(3) B. f(-4)>e2f(-2) C. f(4)>4e3-1 D. f(-4)<-4e2-1 题组二　利用导数解不等式 5.已知函数f(x)=2x -x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 6.设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)-f'(x)<1, f(0)=2 021,则不等式f(x)>2 020·ex+1(e为自然对数的底数)的解集为　(　　) A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(2 020,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(2 020,+∞) 7.已知f'(x)是偶函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=1,当x>0时,3f(x)+xf'(x)>0,则使得不等式(x-2 022)3f(x-2 022)>1成立的x的取值范围是　(　　) A.(2 021,+∞) B.(-∞,2 021) C.(2 023,+∞) D.(-∞,2 023) 8.设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),对任意x都有f (x)-f(-x)=2sin x,当x≤0时,f'(x)<-1,若f(t)≤f +sin,则实数t的取值范围为　　　　.  9.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若a>0,求不等式f(x)-f >0的解集. 题组三　利用导数研究函数单调性的综合应用 10.函数f(x)=的大致图象是(　　) 11.已知函数f(x)=x3+bx2-4x+d在上单调递减,则实数b的取值范围是(　　) A. B. C. D. 12.(多选)已知偶函数f(x),若对于任意的x∈,f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)都成立,则下列不等式中不成立的是(　　) A.f<f B.f<f C. f(0)>f D. f<f 13.(多选)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　) A. f(2)>f(3) B.ln π> C.若f(x)=m有两个不相等的实根x1,x2,则x1x2<e2 D.若2x=5y,x,y均为正数,则2x<5y 14.已知定义在R上的函数f(x),如果对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1),那么称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数: ①y=ex+1;②y=3x-2(sin x-cos x); ③y=x3+3x2+3x+1;④y= 以上函数是“H函数”的是　　　　.(填序号)  15.已知函数f(x)=ln x-ax+-1(a∈R). (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (2)当a≤时,讨论f(x)的单调性. 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 1.3　导数在研究函数中的应用 1.3.1　函数的单调性与导数 基础过关练 1.A　由y=f(x)的图象知f(x)在(0,+∞)上是减函数,故y=f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故排除B、D;f(x)在(-∞,0)上先增后减再增,故y=f'(x)在(-∞,0)上先大于0,再小于0,然后大于0,故排除C.故选A. 2.D　由题中f'(x)的图象可以看出,在(a,b)内, f'(x)>0,且在内, f'(x)单调递增,在内, f'(x)单调递减,所以函数f(x)在(a,b)内单调递增,且其图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.故选D. 3.答案　(-1,2)和(4,+∞) 解析　由题中函数f'(x)的图象可得,当x∈(-1,2)或x∈(4,+∞)时, f'(x)>0,此时f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,2)和(4,+∞). 4.答案　∪(2,+∞) 解析　由题图知f(x)在和(2,+∞)上单调递增,在上单调递减, 所以f'(x)>0的解集为∪(2,+∞),f'(x)<0的解集为, 由xf'(x)>0得或 所以xf'(x)>0的解集为∪(2,+∞). 5.D　f'(x)=ex+xex=ex(x+1),由f'(x)>0,得x>-1,所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,+∞).故选D. 6.B　易得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2xln x+x2·=2xln x+x=x(2ln x+1). 令f'(x)>0,得2ln x+1>0,解得x>, 故函数f(x)=x2ln x的单调递增区间为.故选B. 7.D　y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 结合选项可知当2π<x<3π时,y'<0恒成立, 所以函数在(2π,3π)上是减函数,故选D. 8.答案　(-2,-1) 解析　f'(x)=(2x+1)ex +(x2+x+1)ex =ex(x2+3x+2)=ex (x+1)(x+2), 令f'(x)<0,解得-2<x<-1, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-2,-1). 9.解析　(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=6x-. 令f'(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去). 当x变化时, f(x), f'(x)的变化情况如下表所示: x f'(x) - 0 + f(x) ↘ 1+ln 3 ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)易得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f'(x)=1-=(x+)(x-). 令f'(x)=0,解得x=或x=-. 当x变化时, f(x), f'(x)的变化情况如下表所示: x (-∞, -) - (-, 0) (0, ) (, +∞) f'(x) + 0 - - 0 + f(x) ↗ -2 ↘ ↘ 2 ↗ ∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞);单调递减区间为 (-,0),(0,). 10.解析　(1)f'(x)=2ax+2-. 由题意知f'(1)=2a+=0,解得a=-. (2)由(1)得f(x)=-x2+2x-ln x, 则f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-x+2-=. 令f'(x)>0,得1<x<2; 令f'(x)<0,得0<x<1或x>2. 因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞). 11.A　易得f(x)的定义域为{x|x>0}, f'(x)=2x-2+. 若f(x)在定义域上是增函数, 则f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即2x-2+≥0在(0,+∞)上恒成立,变形可得m≥2x-2x2在(0,+∞)上恒成立, 又因为2x-2x2=2x(1-x)≤,当且仅当x=时等号成立,所以m≥.故选A. 12.D　易得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0), ∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间, ∴函数y=f'(x)有两个不同的零点, ∴Δ=36-12a>0,∴0<a<3, ∴实数a的取值范围是(0,3).故选D. 13.A　f'(x)=2xex+(x2+k)ex=(x2+2x+k)ex, ∵f(x)在(-3,2)上单调递增,∴f'(x)≥0在(-3,2)上恒成立, ∴x2+2x+k≥0在(-3,2)上恒成立, 即k≥-x2-2x在(-3,2)上恒成立, 令g(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1(x∈(-3,2)), 当x∈(-3,2)时,g(x)∈(-8,1]. 故k≥1.故选A. 14.答案　1 解析　f'(x)=3ax2-12. ∵f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2), ∴-2和2为方程f'(x)=0的两个实根, ∴12a-12=0,∴a=1. 15.答案　-;,(1,+∞) 解析　f'(x)=[x2+(m+2)x+m]ex . 因为f(x)的单调递减区间是, 所以f'(x)=0的两个根分别为-和1, 所以所以m=-. 所以f'(x)=ex =(x-1)(2x+3)ex. 令f'(x)>0,得x<-或x>1. 故函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞). 16.解析　(1)∵f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R),∴f'(x)=3x2-2ax. ∵曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+y-1=0, ∴ 解得 (2)由(1)得f'(x)=3x2-2ax=3x. 令f'(x)=0,得x=0或x=. ∵a>0,∴当f'(x)>0时,x∈(-∞,0)∪;当f'(x)<0时,x∈. ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,单调递减区间为. 能力提升练 1.D　设f(x)=,x≥e,则f'(x)=≥0在[e,+∞)上恒成立, ∴函数f(x)在[e,+∞)上单调递增, 易得a=f(e),b=f(3),c=f(5),且e<3<5,∴a<b<c. 故选D. 2.C　构造函数f(x)=(x>0), 则a==f(2sin2x),b==f(cos x),c==f(sin x). 因为f'(x)==-<0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为x∈,所以2sin2x-sin x=sin x(2sin x-1)>0,且sin x>cos x,故a<c<b,故选C. 3.C　构造函数f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增,所以f(x)=ex-x-1≥f(0)=0,即ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号),令x=-,则>1-=,即有b>a;当x>-1时,对ex≥x+1的左右两边同时取常用对数,可得ln(x+1)≤x(当且仅当x=0时取等号),令x=,可得ln <,即有a>c.综上,b>a>c. 4.ACD　因为当x>0时, f'(x)-f(x)>1,所以f'(x)-f(x)-1>0,所以 >0,所以'>0. 令g(x)=,则当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增. 易知g(4)>g(3),即>,所以f(4)>ef(3)+e-1>ef(3),故A正确; 易知g(4)>g(2),即>,所以f(4)>e2f(2)+e2-1>e2f(2),所以-f(4)<-e2f(2),又因为f(x)是奇函数,所以f(-4)<e2f(-2),故B不正确; 易知g(4)>g(1),即 >,又因为f(1)=3,所以f(4)>4e3-1,故C正确; 由C选项的分析得f(4)>4e3-1>4e2+1,所以-f(4)<-4e2-1,又因为f(x)是奇函数,所以f(-4)<-4e2-1,故D正确.故选ACD. 5.D　f'(x)=2xln 2-1. 令f'(x)=0,得2x =,此方程有唯一解,设为x0. 易知f'(x)=2xln 2-1在R上递增,所以函数f(x)在(-∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增, 又因为f(0)=f(1)=0,所以f(x)>0的解集是(-∞,0)∪(1,+∞),故选D. 6.C　令g(x)=,则g'(x)=, 因为f(x)-f'(x)<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增. 因为f(0)=2 021, 所以g(0)=f(0)-1=2 020. 不等式f(x)>2 020·ex+1可转化为 >2 020,即g(x)>g(0). 由函数g(x)在R上单调递增知x>0.故选C. 解题模板 　　构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一种重要题型,解决此类问题的关键是合理构造函数. 7.C　设F(x)=x3f(x),则F'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)], 因为x>0时,3f(x)+xf'(x)>0,所以x>0时,F'(x)>0,F(x)单调递增, 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),所以F(-x)=(-x)3f(-x)=-x3f(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,所以F(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 因为f(1)=1,所以F(1)=13f(1)=f(1)=1. 故不等式(x-2 022)3f(x-2 022)>1即F(x-2 022)>F(1),所以x-2 022>1, 所以x>2 023,故选C. 8.答案　 解析　由f(x)-f(-x)=2sin x,可得f(x)-sin x=f(-x)+sin x, 令g(x)=f(x)-sin x,x∈R,则g(x)是偶函数, 当x≤0时,g'(x)=f'(x)-cos x<-1-cos x≤0, 所以g(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 易得sin t-sin=sin t-=sin t-cos t=sin, 由f(t)≤f+sin, 得f(t)≤f+sin t-sin, 即f(t)-sin t≤f-sin, 即g(t)≤g,则g(|t|)≤g,所以|t|≤,解得t≤.故答案为. 9.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-a=. ①若a≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a>0,则当0<x<时, f'(x)>0;当x>时, f'(x)<0. 故f(x)在上单调递增,在上单调递减. 综上,当a≤0时, f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时, f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)由(1)知f(x)的定义域为(0,+∞), ∴∴0<x<. 设F(x)=f(x)-f =ln x-ax-ln+a =ln x-ln-2ax+2,x∈, 则F'(x)=+-2a=≥0,∴F(x)在上单调递增. 又∵F=0,∴当x∈时,F(x)<0;当x∈时,F(x)>0. ∴f(x)-f >0的解集为. 10.A　f'(x)=. 令f'(x)=0,得-x2+x+1=0,解得x=. 当x∈时, f'(x)<0; 当x∈时, f'(x)>0; 当x∈时, f'(x)<0, ∴函数f(x)在和上单调递减,在上单调递增,排除D. 当x=0时, f(0)=0,排除B. 当x=-1时, f(-1)=0,排除C.故选A. 11.D　f'(x)=3x2+2bx-4, 若f(x)在上单调递减, 则当x∈时,3x2+2bx-4≤0恒成立. ①x∈(0,1)时,问题转化为b≤-x+在(0,1)上恒成立, 令g(x)=-x+,x∈(0,1), 显然g(x)在(0,1)上单调递减, 故g(x)>g(1)=, 故b≤; ②x=0时,原不等式即-4≤0,显然成立; ③x∈时,问题转化为b≥-x+在上恒成立, 令h(x)=-x+,x∈, 显然h(x)在上单调递减, 故h(x)<h=-2, 故b≥-2. 综上,b∈. 12.ABC　构造函数g(x)=, 则g(x)为偶函数,且g'(x)=,由题意可知g'(x)>0在上恒成立, ∴g(x)在上单调递增. 易得g=g==2f, g=g==f, g==f, 由函数g(x)在上单调递增,可知g<g<g, 即f<f<2f. 对于A、B, f=f<f=f,故A、B中不等式不成立; 对于C,g(0)<g,即f(0)<f=f,故C中不等式不成立; 对于D,f<2f,即f <f ,故D中不等式成立. 故选ABC. 13.BD　由f(x)=,可知其定义域为(0,+∞),且f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e. 当x∈(0,e)时, f'(x)>0,此时f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时, f'(x)<0,此时f(x)单调递减,所以f(x)≤f(e)=,当x趋近于+∞时, f(x)趋近于0,当x趋近于0时, f(x)趋近于-∞. 对于A, f(2)==ln , f(3)==ln , ∵>,且>0,>0,∴>, ∴f(3)>f(2),故A错误; 对于B,∵<<e,且f(x)在(0,e)上单调递增, ∴f()<f(),即<,∴<, ∴ln π >,故B正确; 对于C,∵f(x)=m有两个不相等的实根x1,x2, ∴f(x1)=f(x2)=m, 不妨设0<x1<e<x2,要证x1x2<e2,即证x1<, ∵x2>e,∴<e, ∵f(x)在(0,e)上单调递增, ∴只需证f(x1)<f,即证f(x2)<f,即证f(x2)-f <0,① 令g(x)=f(x)-f(x>e), 则g'(x)=(ln x-1), 当x>e时,ln x>1,>,∴g'(x)>0, ∴g(x)在(e,+∞)上单调递增, ∵x2>e,∴g(x2)>g(e)=0,即f(x2)-f>0,这与①矛盾,故C错误; 对于D,设2x=5y=k,且x,y均为正数,则x=log2k=,y=log5k=, ∴2x=ln k,5y=ln k, 易知=ln ,=ln ,且>, ∴>>0,∴0<<,∴2x<5y,故D正确. 故选BD. 14.答案　①②③ 解析　x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1)可化为[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0, 所以函数f(x)为R上的增函数,即“H函数”为R上的增函数. ①y=ex+1显然是R上的增函数,故①符合. ②y'=3-2cos x-2sin x=3-2sin≥3-2>0,所以函数y=3x-2(sin x-cos x)为R上的增函数,故②符合. ③y'=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,当且仅当x=-1时取等号,所以函数y=x3+3x2+3x+1为R上的增函数,故③符合. ④当x>0时,y=ln|x|=ln x,在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,y=ln|x|=ln(-x),在(-∞,0)上单调递减,所以y=不是R上的增函数,故④不符合. 15.解析　(1)当a=-1时, f(x)=ln x+x+-1(x>0),则f'(x)=+1-(x>0),所以f'(2)=1. 又因为f(2)=ln 2+2, 故所求切线方程为y-(ln 2+2)=x-2,即y=x+ln 2. (2)因为f(x)=ln x-ax+-1(x>0), 所以f'(x)=-a+=-(x>0). 令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0). (i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0), 所以当x∈(0,1)时,g(x)>0, f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0, f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. (ii)当a≠0时,令g(x)=0, 解得x=1或x=-1. 当a=时,g(x)≥0, f'(x)≤0,当且仅当x=1时取等号,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当0<a<时,若x∈(0,1)∪,则g(x)>0, f'(x)<0;若x∈,则g(x)<0, f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,1),上单调递减,在上单调递增. 当a<0时,-1<0, 若x∈(0,1),则g(x)>0, f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减. 若x∈(1,+∞),则g(x)<0, f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. 综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<a<时,函数f(x)在(0,1),上单调递减,在上单调递增. 方法技巧 　　解决含参函数的单调性问题时,常常要对参数的取值进行分类讨论,分类时主要考虑三点:一是导函数有没有零点;二是导函数的零点是否在定义域内;三是导函数的零点间的大小关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$