1.1.3 导数的几何意义（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.1.3　导数的几何意义 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.会求直线的斜率及切线方程. 重点难点 重点：导数的几何意义及应用. 难点：极限思想及导数几何意义的理解. 1.切线的斜率 在图中，让点Q1沿曲线趋于点P，可以发现，割线PQ2比PQ1更逼近曲线y＝f(x)，PQ3比PQ2更逼近曲线，…，当点Qn沿曲线逼近于点P时，直线PQn最终成为在点P处最逼近曲线的切线PT. 割线PQn的斜率是kn＝， 当点Qn逼近点P时，kn趋近于切线PT的斜率.因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0). 2.导数的几何意义 导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x，f(x))处的切线的斜率. 1.如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　 ) A. 　　　 B.3 C.4 　　　 D.5 解析：选A　根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝. 2.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线的斜率为________. 答案：－1 —————————————————————————————————— 对导数几何意义的理解 —————————————————————————————————————— [典例1]　(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　 ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定 (2)函数f(x)在x＝4处的切线方程为y＝3x＋5，则f(4)＋f′(4)＝(　 ) A.10 B.20 C.30 D.40 [解析]　(1)由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f′(xA)<f′(xB). (2)因为f(4)＝3×4＋5＝17，又在x＝4处的导数为f′(4)＝3，所以f(4)＋f′(4)＝20. [答案]　(1)B　(2)B 方法技巧 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.　　 [对点训练] 1.函数f(x)的图象如图所示，则(　 ) A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3) C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2) 解析：选C　由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1). 2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝(　 ) A.－3 B.－2 C.2 D.1 解析：选D　由题可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则切线l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1. —————————————————————————————————— 利用导数的几何意义求切线方程 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2,4)处的切线方程. [解]　∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上， ∴＝4＋2d＋d2. 当d→0时，4＋2d＋d2→4，∴k＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. [拓展] 本例曲线方程不变，求曲线过点P(2,4)的切线方程. 解：设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A， 则＝x＋dx0＋d2. 当d→0时，k＝x， ∴切线方程为y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. ∵点P(2,4)在切线上， ∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0. ∴x＋x－4x＋4＝0， 即x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. [方法技巧]　求曲线在某点处的切线方程的步骤 [对点训练] 3.已知抛物线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　 ) A.30° B.45° C.135° D.165° 解析：选B　因为＝＝x0＋d，当d→0时，x0＋d→x0.所以f′(x0)＝x0，所以在P点处切线的斜率为1，故切线的倾斜角为45°. 4.曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程是(　 ) A.y＝(2＋2)x－2－2 B.y＝(2