1.1.1 函数的平均变化率（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

　 1.1.1　函数的平均变化率 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过具体实例了解函数的平均变化率. 2.了解“以直代曲”的含义. 3.会求运动物体的平均速度. 重点 难点 重点：求函数的平均变化率. 难点：平均变化率在实际问题中的应用. 1.运动物体的平均速度 若在直线上运动的点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a).因为所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝. 2.函数的平均变化率 一般地，函数y＝f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减)，因此我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率. (1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题： ①平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差. ②平均变化率的公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点. (2)一次函数的平均变化率： 一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为＝＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数. 1.函数y＝在x＝1到x＝3之间的平均变化率为(　 ) A. B.－ C.－ D. 答案：C 2.一物体的运动位移s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为(　 ) A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 答案：D ————————————————————————————————— 求运动物体的平均速度 ————————————————————————————————————— [典例1]　小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t内所经过的距离为s(t)＝at2，求小球在时间段[2,2＋h]内的平均速度. [解]　因为小球在t内所经过的距离为s(t)＝at2， 所以在时间段[2,2＋h]内的平均速度为＝＝4a＋ah. [方法技巧] 求运动物体的平均速度的步骤 第一步，求时间的改变量x2－x1； 第二步，求位移的变化量f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均速度.　　 [对点训练] 1.(多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　 ) A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量为20 m B.在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间[2,3]内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 解析：选BCD　前3 s内球滚下的垂直距离的增量为h(3)－h(0)＝24 m， 此时球在垂直方向上的平均速度为＝8 m/s，故A错误，C正确； 在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为h(3)－h(2)＝12 m. 此时球在垂直方向上的平均速度为＝12 m/s，故B、D正确. ————————————————————————————————— 求函数的平均变化率 —————————————————————————————————————— [典例2]　比较函数f(x)＝2x与g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a＜0)上的平均变化率的大小. [解]　f(x)＝2x在区间[a－1，a](a＜0)上的平均变化率为＝2a－2a－1＝2a－1； g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a＜0)上的平均变化率为＝－＝. ∵a＜0，∴a－1＜－1，∴2a－1＜2－1＝， ∴f(x)＝2x在区间[a－1，a](a＜0)上的平均变化率比g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a＜0)上的平均变化率小. [方法技巧] 求函数平均变化率的步骤 第一步，求自变量的改变量x2－x1； 第二步，求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率.　　 [对点训练] 2.已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率. 解：函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝＝2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为＝2.函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝－2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为＝－2. ————————————————————————————————— 平均变化率的应用 ————————————————————————————————————— [典例3]　巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美