第13讲 13.4课题学习路径最短问题-2023-2024学年八年级数学上册考点解读易错警示题型梳理及考向预测（人教版）

第13讲 13.4课题学习路径最短问题（原卷版） 第一部分 题型梳理 题型1 将军饮马问题 典例1 （2023秋•江都区校级月考）如图，已知直线l及同侧两点A、B． （1）在直线l上求一点M，使MA＝MB； （2）在直线l上求一点P，使PA+PB最小． （以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 针对训练 1．（2023秋•和平区期中）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC交于D点，M、N分别在线段AD、AC上的动点，连接MN、MC，当MN+MC最小时，画出M、N的位置．已知△ABC的面积为12cm2，AB＝6cm，求MN+MC的最小值． 题型2周长最短问题 典例2 如图，已知∠AOB内一定点P，试在OA、OB上各找一点M、N，使△PMN周长最短． 针对训练 1．（2020春•梁子湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，有点A（1，3），B（2，1），在x轴和y轴上分别找Q，P两点，使得四边形ABQP的周长最短，最短周长为 ． 题型3 造桥选址问题 典例3如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，需经过两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ 针对训练 1．如图，A和B两地之间有两条平行的河流，现要在两条河上各造一座桥MN和EF，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 第二部分 重点题型 重点题型：等腰三角形中线段和最短问题 解题通法： 第一步：根据最短路径问题确定最小值时点的位置 第二步：利用等腰三角形的性质求出最小值 母题 （2021秋•平山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点． （1）当MD⊥BC时． ①若ME＝1，则点M到AB的距离为 　 　； ②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长； （2）若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为 　 ． 子题 （2023秋•西陵区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，DF是线段AC的垂直平分线；交AC边于点D，交AB边于点E，以BE为边作等边△BEF，连接CF、AF． （1）求证：△ACF是等边三角形； （2）若点P是直线DE上一动点，连接BP、CP，当点P运动到何处时，BP+CP的值最小？并求出该最小值． 第三部分 考向预测 考点：利用轴对称解决周长最短问题 考情分析：这类题一般要根据“两点之间，线段最短”解决问题，题型常以选择题、填空题出现。难度中等。 考例（2022秋•大荔县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值． 第四部分 提优训练 （一）夯实双基 1．（2021秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（　　） A．5 B．15 C．20 D．30 2．（2023秋•自贡期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是　 ． （二）提高能力 3．（2019春•南开区期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称， （Ⅰ）连接CC′，判断四边形CBA′C′的形状并进行证明． （Ⅱ）D为线段BC′上一动点，求AD+CD的最小值． 4．（2022秋•龙江县校级期末）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F． （1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝　 　，∠EPF＝　 　（用含α的代数式表示）； （2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长． ②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示） （三）提升素养 5．（2019秋•周口期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BD⊥AC于点D，点E是BC边上的动点，点F是AC边上的动点，则AE+EF的最小值等于图中线段　 　的长． 6．（2022秋•松原期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点． （1）AE＝　4　，∠ACD＝　45　度； （2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长； （3