第7章 计数原理 章末小结（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．分类计数原理与分步计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键，并且分类科学、标准统一、不重复、不遗漏，体现出分类与整合的思想． 2．在排列组合的有关问题中，首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题，在排列组合的综合问题中，若直接解决比较困难时，可进行反面考虑，通过排除，即可使诸多较为复杂的问题简单化，体现了正难则反的思想方法． 3．化归与转化的思想是指在解决问题的过程中，通过某种转化，把待解决或难解决的问题归结为一类已解决或易解决的问题．在解决排列、组合问题，特别是“至多”“至少”问题时，可以转化为从其反面考虑，用间接法求解．在与二项式定理有关的问题中，主要是多项式转化为二项式求解． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　两个计数原理的应用 1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有(　 ) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 解析：选C　分3类，买1本书，买2本书，买3本书， 各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种)． 2．设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有a种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高、跳远、铅球、跑步4项比赛的冠军的可能结果有b种，则为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　每名同学报名有4种选择，5名同学报名就有45种选择，所以a＝45；每项冠军归属结果有5种可能，4项冠军则有54种可能结果，所以b＝54.所以(a，b)＝(45,54)．故选A. 3．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　 ) A．5 B．24 C．32 D．64 解析：选D　5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)． 第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)． 第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8(种)， 根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有 8×8＝64. 4．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________． 解析：以m的值为标准分类，分五类： 第1类，当m＝1时，使n>m，n有6种选择； 第2类，当m＝2时，使n>m，n有5种选择； 第3类，当m＝3时，使n>m，n有4种选择； 第4类，当m＝4时，使n>m，n有3种选择； 第5类，当m＝5时，使n>m，n有2种选择． 所以一共可以表示6＋5＋4＋3＋2＝20个焦点在y轴上的椭圆． 答案：20 [题型技法] 使用两个原理解决问题时应注意的问题 对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． 题型二　排列组合问题 5．(2023·全国甲卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　 ) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 解析：选C　甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C1 6＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20(种)情况，由分步计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C. 6．(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　法一：设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表： 　乙 甲　 A B C D E F A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D