7.4.2 二项式系数的性质及应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

7.4.2　二项式系数的性质及应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．建立杨辉三角与二项式系数之间的联系，并探索其中的规律． 2．掌握二项式系数的性质及其简单应用． 重点 难点 重点：二项式系数性质的应用． 难点：二项式系数性质的理解. 一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质： (1)C＝； (2)C＋C＝C； (3)当r＜时，C＜；当r＞时，＜C； (4)C＋C＋…＋C＝2n. 1．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 2．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(　 ) A．第＋1项 B．第n项 C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 答案：C 3.10展开式的各项系数的和为(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．210 答案：B —————————————————————————————————— 求展开式的系数和 —————————————————————————————————————— [典例1]　设(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022·x2 022(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 022的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 022|的值． [解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝(－1)2 022＝1.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 022＝32 022.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝1－32 022， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝. (3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 022| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022＝32 022. [方法技巧] 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [对点训练] 1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解：令x＝1， 则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1， 则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187. ————————————————————————————————— 求展开式中系数或二项式系数的最大项 ————————————————————————————————————— [典例2]　在8的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ [解]　Tr＋1＝C·()8－r·r ＝(－1)r·C·2r·x4－. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6. (2)设第r＋1项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r＝5或r＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [拓展] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项． 解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11. 系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－＝－1 792x－. [方法技巧] 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1