7.4.1 二项式定理（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

7.4.1　二项式定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用计数原理证明二项式定理． 2.掌握二项式定理及二项式通项的公式及应用． 重点 难点 重点：利用二项展开式求特定项的系数． 难点：多项式通项公式问题. 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 C(r＝0,1,2，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数 二项式通项 Tr＋1＝Can－rbr叫作二项展开式的第r＋1项(也称通项) 1．二项式定理的理解 (1)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b该等式都成立．通过对a，b取不同的特殊值，可给某些问题的解决带来方便． (2)在二项式定理中，若令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn(n∈N*)． 2．二项式系数与项的系数的区别 (1)二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． (2)一个二项展开式的某一项的二项式系数C与这一项的系数(二项式系数与数字系数的积)是两个不同的概念，二项式系数一定为正值，而项的系数既可以是正值也可以是负值，还可以是0. 1.5的展开式中含x3项的二项式系数为(　 ) A．－10 B．10 C．－5 D．5 答案：D 2.5展开式中的常数项为(　 ) A．80 B．－80 C．40 D．－40 答案：C 3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于________． 答案：x3 —————————————————————————————————— 二项式定理的应用 —————————————————————————————————————— [典例1]　(1)求4的展开式； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． [解]　(1)法一：4 ＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C·3·3＋C·4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二：4＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. [方法技巧] 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [对点训练] 1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　 ) A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x4－1 解析：选A　原式＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4. 2．设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________. 解析：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1)n·C·20＝(2－1)n＝1. 答案：1 —————————————————————————————————— 求二项展开式中的特定项或系数 —————————————————————————————————————— [典例2]　已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解]　二项式通项为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝ C(－3)rx. (1)∵第6项为常数项，∴当r＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，解得r＝2，∴x2项的系数为C(－3)2＝405. (3)由题意，得令＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8， ∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. [方法技巧] 1．求二项展开式的特定项常见题型及处理措施 (1)求第k＋1项．Tk＋1＝Can－kbk. (2)求常数项．对于常数项，