7.3 第二课时 组合数的应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

第二课时　组合数的应用 —————————————————————————————————— 有限制条件的组合问题 —————————————————————————————————————— [典例1]　(1)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有______种． (2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有______种． [解析]　(1)法一：直接法．第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有CC＝40种选法；第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有CC＝30种选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C＝4种选法．根据分类计数原理知，共有74种选法． 法二：间接法．从所有的9名学生中选出3名，有C种选法，其中全为男生的有C种选法．所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C－C＝74种． (2)法一：直接法.4位作介绍的家长可分两类． 第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4位作介绍的家长来自4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，所以其选择方法有24＝16种；第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻，即4位作介绍的家长中有2位为一个家庭的父亲和母亲，其选法有C种，另2位家长从另三个家庭中的两个家庭中选，其选法有C种，并且被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，其选法有22种．根据分步计数原理知，作介绍的家长的选法有C·C×22＝48种．根据分类计数原理知，满足题意的选法有16＋48＝64种． 法二：间接法．从8位家长中选出4位家长有C种选法，其中这四位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C种，所以满足题意的选法有C－C＝64种． [答案]　(1)74　(2)64 [方法技巧] 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类： 一是“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指对象去掉再取， 分步计数； 二是“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏． [对点训练] 1．有4个不同的球， 4个不同的盒子， 把球全部放入盒内． (1)恰有1个空盒，有几种放法？ (2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？ 解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种放法，根据分步计数原理，共有CA＝144种不同的放法． (2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法： 第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个盒子中有A种放法，共有CA种放法； 第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法． 故恰有2个盒子不放球的方法有CA＋CC＝84种． —————————————————————————————————— 几何中的组合问题 —————————————————————————————————————— [典例2]　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [解]　法一：(直接法)以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准． 第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形； 第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形； 第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形． 由分类计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个． 法二：(间接法)从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种． 故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216个． [方法技巧] 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强. (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． [对点训练] 2．8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形有(　 ) A．55个 B．112个 C．156