7.2 第二课时 排列数的应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

第二课时　排列数的应用 —————————————————————————————————— 对象“在”与“不在”问题 —————————————————————————————————————— [典例1]　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． [解]　(1)法一：位置分析法．因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5人中任选2人站在左右两端，有A种站法，再让剩下的4人站在中间的4个位置上，有A种站法，由分步计数原理，共有A·A＝480种站法． 法二：对象分析法．因为甲不站在左右两端，故先让甲站在除左右两端之外的任一位置上，有A种站法，再让余下的5人站在其他5个位置上，有A种站法，故共有A·A＝480种站法． 法三：间接法．在排列时，我们对6人不考虑甲站位的要求做全排列，有A种站法，但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站在左端或右端的情况数2A，于是共有A－2A＝480种站法． (2)法一：对象分析法．首先考虑特殊对象，让甲、乙先站两端，有A种站法，再让其他4人在中间4个位置做全排列，有A种站法．根据分步计数原理，共有A·A＝48种站法． 法二：位置分析法．首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有A种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A种站法．根据分步计数原理，共有A·A＝48种站法． (3)法一：间接法．甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，而甲在左端且乙在右端的站法有A种，故共有A－2A＋A＝504种站法． 法二：直接法．以对象甲的位置进行考虑，可分两类，第1类，甲站右端有A种；第2类，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A·A·A种站法．故共有A＋A·A·A＝504种站法． [方法技巧] (1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从对象入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．从对象入手时，先给特殊对象安排位置，再把其他对象安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从对象考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑对象又考虑位置． (2)间接法又称为排除法，是剔除不符合限制条件的情况的一种方法，如果问题的正面分的类较多，或正面问题计算较复杂，而反面问题解决较为简便时，可用此法． [对点训练] 1．某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有(　 ) A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 解析：选D　甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，有2A·A种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，有2A·A·A种方案，所以共有2A·A＋2A·A·A＝672种方案．故选D. 2．3男3女共6名同学排成一行，男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，且女生不能排在队伍的两端，有________种排法． 解析：先选2名女生排在男生甲、乙之间，有A种排法，又甲、乙有A种排法，所以有A×A种排法，然后把他们4人看成一个整体(相当于一个男生)，这一整体以及另1名男生排在两端，有A种排法，最后将余下的女生排在中间，有1种排法，故有A×A×A×1＝24种排法. 答案：24 ————————————————————————————————— “相邻”与“不相邻”问题 ————————————————————————————————————— [典例2]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须排在一起； (3)全体站成一排，男生不能排在一起； (4)全体站成一排，男、女生各不相邻； (5)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人． [解]　(1)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有A种排法．由分步计数原理共有AAA＝288种不同的排法． (2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，故有AA＝720种不同的排法． (3)不相邻问题(插空法)：先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A种排法，故有AA＝1 440种不同的排法． (4)对比(3)，让女生插空，故有AA＝144种不同的排法． (5)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3人进行全排列，故有AAA＝960种不同的排法． [方法技巧]