专题4.4 数列的求和-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.4数列的求和 知识点一 数列的求和公式 1. 等差数列的前和的求和公式：. 2．等比数列前项和公式 一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）. 3. 常见数列前项和 ①重要公式：（1） （2） （3） （4） ②等差数列中，； ③等比数列中，. 知识点二 几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形： ①； ②； ③. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 考点01 公式法求和 【典例01】（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列，其前项的和为，则 . 【典例02】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）设等差数列的前n项的和为，满足，，则的最大值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 考点02 分组求和与并项求和 【典例03】（2022秋·福建莆田·高二校考期中）已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例04】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项之积为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和. 【总结提升】 分组转化法求和的常见类型 (1)若，且为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{}的前n项和． (2)通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论． 考点03 裂项相消法求和 【典例05】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）设数列的各项都为正数，且． (1)证明数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【典例06】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. (3)，求数列的前项和. 【总结提升】 1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 考点04 错位相减法求和 【典例07】（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知数列的首项，且满足，若. (1)求证为等比数列； (2)在数列中，，对任意的，，都有，求数列的前项和. 【典例08】（2023秋·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【规律方法】 1.使用“错位相减法”的方法步骤： 2.特别提醒： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 3.在历年高考命题中，“错位相减法”为高频考查内容. 考点05 倒序相加法求和 【典例09】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A．2022 B．4044 C．2023 D．4046 【典例10】（2023春·高二校考课时练习）在数列中，，则…的值是 . 【总结提升】 注意观察数列（函数）特征：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 考点06 数列与函数的综合问题 【典例11】（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 . 【典例12】（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十