4.3.1 第二课时 相关系数及非线性回归（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第二课时　相关系数及非线性回归 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小，从而判断回归直线方程拟合效果． 2.了解非线性回归，并会求非线性回归的回归直线方程． 重点 难点 重点：相关系数的计算． 难点：理解非线性回归. 一相关系数 1．相关系数 统计学里一般用r＝ ＝ 来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数)． 2．相关系数r的性质 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是 r>0，y与x负相关的充要条件是 r<0. (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． (3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上． 1．判断正误 (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验． (　 ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强． (　 ) (3)若相关系数r＝0，则两变量x，y之间没有关系． (　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．若回归直线方程中的回归系数＝0，则相关系数r＝________. 解析：相关系数r＝与 ＝的分子相同，故r＝0. 答案：0 若具有相关关系的变量y与x不是线性相关关系，则称y与x为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程)． 1．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________. 解析：由题意，得ln(cekx)＝0.3x＋4，∴ln c＋kx＝0.3x＋4，∴ln c＝4，∴c＝e4. 答案：e4 2．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图象附近，则可通过转换得到的回归直线方程为________． 答案：U＝1＋ln 3＋2x —————————————————————————————————— 相关系数与相关关系的强弱 —————————————————————————————————————— [典例1]　对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　 ) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 [解析]　由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r1＞0，r3＞0，图(2)与图(4)是负相关，故r2＜0，r4＜0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2＜r4＜0＜r3＜r1.故选A. [答案]　A [方法技巧] 相关关系强弱的定量分析与定性分析 (1)定量分析：相关系数r的范围为－1≤r≤1，r为正时，成对数据正相关；r为负时，成对数据负相关；|r|越接近于1，成对数据的线性相关程度越大；|r|越接近于0，成对数据的线性相关程度越小；当|r|＝1时，所有数据点都在一条直线上． (2)定性分析：相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近，两变量的线性相关关系越强；样本点在某条直线附近越分散，两变量的线性相关关系越弱．　　 [对点训练] 1．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到回归直线方程＝2x＋2，相关系数为r2.则(　 ) A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1 C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0 解析：选D　由散点图得这两个变量呈负相关， 所以r1，r2<0.因为剔除点(10,21)后，剩下的数据更具有线性相关性，所以|r2|更接近1，所以－1<r2<r1<0.故选D. 2．对四组变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数．①n＝7，r＝0.954 5；②n＝15，r＝0.381 2；③n＝17，r＝0.498 5；④n＝3，r＝0.987 0，则变量y与x具有相关关系的是________．(填序号) 解析：相关系数r的绝对值越大，线性相关程度越高，故填①④. 答案：①④ —————————————————————————————————— 相关系数的计算及应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响，进行了一组实验，得到的数据经整理后得到如图所示的折线图． 由图可以看出，这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关性，请用相关系数