4.2.5 正态分布（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4.2.5　正态分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3.了解正态分布的均值、方差及其含义． 重点 难点 重点：根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内取值的概率． 难点：正态曲线的性质及其实际应用. 一二项分布与正态曲线 1．正态曲线的定义 对于给定的函数φ(x)＝e，μ和σ为参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x))． 2．正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 1．若f(x)＝e，x∈R，则f(x)(　 ) A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但无最小值 C．无最大值，也无最小值 D．有最小值，但无最大值 解析：选B　当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝＝.无最小值． 2．概率密度函数为f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均值和标准差分别是(　 ) A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和 解析：选C　由条件可知μ＝0，σ＝2. 3．(多选)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，则下列说法中正确的是(　 ) A．曲线b仍然是正态曲线 B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2 解析：选ABD　正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故C错误． 1．正态分布 一般地，如果随机变量X落在区间[a, b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a, b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数． 此时μ是X的均值，σ是X的标准差，σ2是X的方差． 2．“3σ原则” 如果X～N(μ， σ2)，那么P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%，P(|X－μ|≤σ)＝ P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(|X－μ|≤2σ)＝ P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(|X－μ|≤3σ)＝ P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. 最后的式子意味着，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”． 3．标准正态分布 μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，其中E(X)＝0，D(X)＝1，对任意正态分布X～N(μ，σ2)可通过Z＝转化为标准正态分布Z～N(0,1)． 4．常用的两个公式 对于标准正态分布，求某区间上的取值概率时常利用两个公式： (1)P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)； (2)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)． 1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件； ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件； ③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件； ④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件． 解析：∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈1－0.997 ＝0.003，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件． 答案：④ 2．若随机变量Z～N(0,1)，P(Z≤1.52)＝0.935 7，则P(Z>1.52)＝________. 答案：0.064 3 —————————————————————————————————— 正态曲线及其性质 —————————————————————————————————————— [典例1]　已知三个密度函数φi(x)＝e－ (x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则(　 ) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [解析]　∵正态曲线关于直线x＝μi对称，∴μ1<μ2＝μ3.∵σ越小，曲线越“高瘦”，∴由题图得σ1＝σ2