4.2.4 第二课时 离散型随机变量的方差（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第二课时　离散型随机变量的方差 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念与意义． 2.掌握方差的性质，能计算离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题． 3.会求两点分布、二项分布、超几何分布的方差及标准差． 重点 难点 重点：能计算离散型随机变量的方差． 难点：理解离散型随机变量方差的意义. 1．方差 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝i－E(X)]2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差．离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示． 2．标准差 一般地，称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)． 3．几种常见分布的方差 (1)两点分布的方差：D(X)＝p(1－p)； (2)二项分布的方差：D(X)＝np(1－p)． 4．离散型随机变量方差的性质 若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)． 对离散型随机变量的方差和标准差的理解 (1)随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散的程度，D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (2)随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差为总体的方差，是一个常数，不随所抽样本而变化，样本方差与所抽样本有关，是一个变量，但随着样本容量的增大，样本方差会趋于总体方差． 1．判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定．(　 ) (2)若a是常数， 则D(a)＝0.(　 ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若随机变量X服从两点分布， 且成功的概率p＝0.5, 则E(X)和D(X)分别为(　 ) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75 答案：A 3．D(X－D(X))的值为(　 ) A．无法求 B．0 C．D(X) D．2D(X) 答案：C 4．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________． 答案：0.196 —————————————————————————————————— 离散型随机变量方差的性质 —————————————————————————————————————— [典例1]　设随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 若Y＝2X＋2，则D(Y)等于(　 ) A．－ B. C. D. [解析]　由题意知，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，故D(X)＝2×＋2×＋2×＝，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝. [答案]　D [方法技巧] 求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． [对点训练] 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)＝. (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求 的值． 解：由分布列的性质，得＋＋p＝1，解得p＝， ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2. (1)D(X)＝2×＋2×＋2×＝＝. (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5， ∴ ＝. —————————————————————————————————— 求离散型随机变量的方差 —————————————————————————————————————— [典例2]　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于(　 ) A. B. C. D. (2)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________． [解析]　(1)由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. (2)依题意知，X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16. [答案]　(1)C　(2)0.16 [方法技巧] 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差．