4.1.2 乘法公式与全概率公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．1.2　乘法公式与全概率公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式计算概率． 2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率． 重点 难点 重点：乘法公式及全概率公式的应用． 难点：乘法公式及全概率公式在实际问题中的应用. 1．乘法公式 (1)公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)． (2)公式的推导依据：P(B|A)＝，即根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 2．全概率公式 (1)公式：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． (2)公式的推导： 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，如图所示， 从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)． 由乘法公式可得全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． 3．全概率公式的推广 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)P(Ai)>0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝. 上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解： 4．贝叶斯公式(选学) (1)贝叶斯公式 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有 P(A|B)＝ ＝. (2)贝叶斯公式的推广 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1>P(Ai)>0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B) ＝＝. 1．判断正误 (1)P(AB)＝P(A)P(A|B)．(　 ) (2)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为i＝Ω.(　 ) 答案：(1)×　(2)× 2．已知P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B) ＝×＝. 3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　 ) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：选C　本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. —————————————————————————————————— 乘法公式 —————————————————————————————————————— 角度(一)　乘法公式的理解 [典例1]　设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于(　 ) A. B. C. D. [解析]　∵P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，∴由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝. [答案]　B 角度(二)　乘法公式的应用 [典例2]　一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率． [解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球(i＝1,2)”，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝.根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. [拓展] 1．在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率． 解：用A表示“第一次取得黑球”，则P(A)＝，用B表示“第二次取得白球”，则P(B|A)＝.故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 2．在本例条件不变的情况下，求两次均取得白球的概率． 解：用Bi表示“第i次取得白球(i＝1,2)”，则B1B2表示“两次取到的均是白球”． 由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝.故P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝. [方法技巧] 1．应用乘法公式的关注点 (1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式． (2)用途：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件A与B同时发生的概率． 2．当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率． [对点训练] 1．已知随机事件A，B，P(