3.3 第二课时 二项式系数的性质（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

第二课时　二项式系数的性质

 

 

1．二项式系数的性质

 

2．杨辉三角的性质

(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；

(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．

 

1．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于(　 )

A．5  B．6 

C．7  D．8

答案：A

2．(1＋x)2n(n∈N＋)的展开式中，系数最大的项是(　 )

A．第＋1项  B．第n项

C．第n＋1项  D．第n项与第n＋1项

答案：C

3.10展开式的各项系数的和为(　 )

A．－1  B．0

C．1  D．210

答案：B

 

 

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与杨辉三角有关的问题

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[典例1]　(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　 )

A．第6行  B．第7行

C．第8行  D．第9行

(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于(　 )

A．144  B．146

C．164  D．461

[解析]　(1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．

(2)由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C

＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)

＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)

＝C＋C－1＝164.

[答案]　(1)B　(2)C

 

[方法技巧]

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．

(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．

(3)结论：由数学表达式得出结论．

[对点训练]

1．将杨辉三角中的每一个数C都换成分数，就得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，根据莱布尼茨三角形求解．

(1)若＋＝，求x；

(2)令an＝＋＋＋＋…＋＋，求an.

解：(1)从莱布尼茨三角形可以看出，下一行两分数之和等于肩上的上一行的分数，所以x＝r＋1.

(2)因为an＝＋＋…＋＋＋－＝＋＋…＋＋－＝…＝＋－＝－，

所以an＝－.

 

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