3.1.3 第一课时 组合的概念及组合数公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3．1．3　组合与组合数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，理解组合与组合数的概念． 2.能利用计数原理推导组合数公式并能解决简单的实际问题． 重点 难点 重点：用组合数的计算公式解决一些简单的应用问题． 难点：掌握常见组合问题的求解方法. 第一课时　组合的概念及组合数公式 1．组合的概念 定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合 相同组合 两个组合只要对象相同，不论对象的顺序如何，都是相同的 对组合概念的理解 (1)组合的特点是只取不排： 组合要求n个对象是不同的，被取出的m个对象也是不同的，即从n个不同的对象中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性： 对象的无序性，即取出的m个对象不讲究顺序，没有位置的要求． (3)相同的组合： 根据组合的定义，只要两个组合中的对象完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合． 2．组合数的概念、公式 定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示 C(n，m∈N且m≤n) 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 特别 C＝1，C＝n，C＝1 3.组合数性质 (1)性质1：C＝； (2)性质2：C＝. 1．下列四个问题属于组合问题的是(　 ) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：选C　A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题． 2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有(　 ) A．504种 B．729种 C．84种 D．27种 答案：C 3．计算C＋C＋C＋C＝________. 答案：210 —————————————————————————————————— 组合的概念 —————————————————————————————————————— [典例1]　判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ [解]　(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出对象有关，而且与对象的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出对象有关，而与对象的安排顺序无关，是组合问题． (3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． [方法技巧] 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [对点训练] 1．判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合A＝，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 解：(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题． (2)因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题． (3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题． (4)因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题． (5)因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题． —————————————————————————————————— 组合数公式及性质的应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　(1)求值：C＋C＋C＋…＋C； (2)解不等式：2C<3C. [解]　(1)C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C＝C＝ ＝5 985. (2)因为2C<3C， 所以2C<3C， 所以<， 又因为所以x